תת-קבוצה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־11:33, 24 בספטמבר 2010

בתורת הקבוצות, קבוצה נתונה $\ B$ היא תת-קבוצה של הקבוצה הנתונה $\ A$ אם כל איבר של הקבוצה $\ B$ שייך גם לקבוצה $\ A$ . (בניסוח פורמלי: לכל $\ x\in B$ מתקיים $\ x\in A$ ).

את הקשר " $\ B$ מוכלת ב- $\ A$ " (או: $\ B$ חלקית ל- $\ A$ , או: $\ B$ תת קבוצה של $\ A$ ) מסמנים כך: $\ B\subseteq A$ .

מתקיים:

כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (רפלקסיביות).
הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה A. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה A (הטענה נכונה באופן ריק כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).
אם A היא תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של C, אזי A תת-קבוצה של C (טרנזיטיביות).
אם A תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של A, אזי A=B.

אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזטיבי. היחס אינו שלם, כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הנשים) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

קבוצה A שווה לקבוצה B אם ורק אם A מכילה את B וכן B מכילה את A. בכתיב פורמלי:

A=B\iff B\subseteq A\land A\subseteq B

כאשר A מכילה את B אך אינה שווה לה, נאמר ש-A מכילה ממש את B, ונסמן $A\supsetneq B.$ או $B\subsetneq A.$ . בספרים מסויימים משתמשים בסימון $\subset$ עבור "מכילה ממש, ובספרים אחרים משתמשים בסימון זה עבור הכלה רגילה.

ראו גם

מונחים בתורת הקבוצות

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[תמונה:Group set.png|שמאל|ממוזער|250px|דוגמה לקבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה]]
-ב[[תורת הקבוצות]], [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] נתונה <math>\ B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>\ A</math> (או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>\ B</math>) אם כל איבר של הקבוצה <math>\ B</math> שייך גם לקבוצה <math>\ A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>\ x\in B</math> מתקיים <math>\ x \in A</math>). את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת קבוצה של <math>\ A</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>.
+ב[[תורת הקבוצות]], [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] נתונה <math>\ B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>\ A</math> אם כל איבר של הקבוצה <math>\ B</math> שייך גם לקבוצה <math>\ A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>\ x\in B</math> מתקיים <math>\ x \in A</math>).
+את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת קבוצה של <math>\ A</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>.
 מתקיים:
@@ שורה 8: / שורה 10: @@
 *אם A תת-קבוצה של B ו-B תת-קבוצה של A, אזי A=B.
-אם כן, [[יחס]] ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזטיבי]]. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו {1} והקבוצה {2}) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
+אם כן, [[יחס]] ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזטיבי]]. היחס אינו שלם, כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הנשים) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
 קבוצה A שווה לקבוצה B [[אם ורק אם]] A מכילה את B וכן B מכילה את A. בכתיב פורמלי:
 :<math>A = B\iff B\subseteq A \and A\subseteq B</math>
-כאשר A מכילה את B אך אינה שווה לה, נאמר ש-A '''מכילה ממש''' את B.
+כאשר A מכילה את B אך אינה שווה לה, נאמר ש-A '''מכילה ממש''' את B, ונסמן <math>A\supsetneq B.</math> או <math>B\subsetneq A.</math>. בספרים מסויימים משתמשים בסימון <math>\subset</math> עבור "מכילה ממש, ובספרים אחרים משתמשים בסימון זה עבור הכלה רגילה.
 ==ראו גם==