מינור (אלגברה לינארית)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף מינור (אלגברה))
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מינור של מטריצה ריבועית נתונה הוא המטריצה המתקבלת ממחיקת שורות ועמודות במספר שווה. את המטריצה המתקבלת ממחיקת השורה ה-\,i והעמודה ה-\,j ב- A, מסמנים ב- \ A[i,j] או ב- \ A_{ij}. לעתים מעדיפים להגדיר מינור דווקא כדטרמיננטה של מטריצה זו. לדוגמה, עבור המטריצה \ A = \begin{pmatrix} 
1 & 4 & 7 \\
3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 & 11 \\
\end{pmatrix}, המינור \ A_{13} שווה למטריצה \ \begin{pmatrix}3 & 0 \\ -1 & 9 \\ \end{pmatrix}, או (לפי ההגדרה השנייה) שווה לסקלר \ \begin{vmatrix}3 & 0 \\ -1 & 9 \\ \end{vmatrix}=27.

אם השורות והעמודות הן בעלות אותם מספרים סידוריים, המינור הוא מינור ראשי, למשל עבור המטריצה \ A המוזכרת להעיל, המינורים הראשיים (לפי ההגדרה הראשונה) שלה הם \ A_{11} = \begin{pmatrix} 
0 & 5 \\
9 & 11 \\
\end{pmatrix},
\ A_{22} = \begin{pmatrix} 
1  & 7 \\
-1 &  11 \\
\end{pmatrix}
, \ A_{33} = \begin{pmatrix} 
1 & 4 \\
3 & 0 \\
\end{pmatrix}.

אחד השימושים העיקריים של מינורים הוא בנוסחת קרמר, המאפשרת לחשב את המטריצה ההפכית למטריצה נתונה, באופן הבא: \ (A^{-1})_{ij} = \frac{(-1)^{i+j}\det(A[j,i])}{\det(A)} [דרושה הבהרה] (נוסחה זו מתקבלת גם מן המשפט המרכזי עבור המטריצה המצורפת).

שימוש נוסף הוא שיטת חישוב לדטרמיננטה הנקראת "פיתוח לפי מינורים".


ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]