מכניקה המילטונית

ויליאם רואן המילטון

מכניקה המילטוניאנית היא פורמליזם מתמטי בפיזיקה קלאסית, המהווה הרחבה ושכתוב של מכניקה לגראנז'יאנית. הפורמליזם מתאר מערכות דינמיות באמצעות קואורדינטות כלליות ותנע קנוני (זוגות משתנים המכונים "קואורדינטות פאזיות"), ומבוסס על פונקציה אחת מרכזית, ההמילטוניאן, המייצגת לרוב את האנרגיה הכוללת של המערכת. השיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי והפיזיקאי האירי ויליאם רואן המילטון במאה ה־19, והיא מהווה בסיס לא רק למכניקה קלאסית מתקדמת אלא גם לפיתוחים מרכזיים במכניקה סטטיסטית, בתורת השדות ובמכניקת הקוונטים.

רקע

מרחב הפזה והמילטוניאן

נניח מערכת המתוארת באמצעות קואורדינטות כלליות ומהירויותיהן $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$, ועבורה מוגדר הלגרנז'יאן ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$.

נגדיר את האנרגיה הלגרנז'יאנית: $$E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t){\stackrel {\text{def}}{=}}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.$$

התנע הקנוני (הצמוד) מוגדר כ־ $$p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t){\stackrel {\text{def}}{=}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}.$$

טרנספורמציית לגנדר מעבירה מתיאור במרחב מקום–מהירות לתיאור במרחב מקום–תנע באמצעות ההמילטוניאן ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$: $${\mathcal {H}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t){\stackrel {\text{def}}{=}}\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),\qquad p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}},$$ כאשר ${\dot {\boldsymbol {q}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$ נקבעת בעקיפין על ידי היחס $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}$. מזה מתקבלת הזהות $${\mathcal {H}}\!\left({\boldsymbol {q}},{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t).$$

משוואות המילטון

שימוש באויילר לגרנז

נחשב דיפרנציאל של ההמילטוניאן מתוך ההגדרה: $$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}+\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\,\mathrm {d} q_{i}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t.$$

מאחר ש־${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=p_{i}$, האיברים עם $\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}$ מבטלים זה את זה, ולכן $$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\,\mathrm {d} q_{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t.$$

מן העבר השני, כתלות במשתנים הבלתי תלויים $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$ מתקיים $$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\,\mathrm {d} q_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\,\mathrm {d} p_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t.$$

השוואת המקדמים של $\mathrm {d} q_{i}$, $\mathrm {d} p_{i}$ ו־$\mathrm {d} t$ נותנת: $${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i},\qquad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}},\qquad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$$

באמצעות משוואות אוילר–לגראנז' ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0$ נקבל $${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i},$$ ולפיכך: $${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-\,{\dot {p}}_{i}.$$

שימוש בעקרון הפעולה הסטציונרית

נסמן ב־${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ את קבוצת המסלולים החלקים ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ כך ש־${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ ו־${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}$. הפעולה מוגדרת על קבוצת מסלולים זו כ־ $${\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}];=;\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}!{\bigl (}t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t){\bigr )},dt;=;\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)dt,$$ כאשר ${\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)$ ו־${\boldsymbol {p}}={\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}$. מסלול ${\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ הוא נקודת אוכף של הפעולה ${\mathcal {S}}$ (ולכן מייצג משוואת תנועה) אם ורק אם המסלול $({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))$ בקואורדינטות מרחב הפזה מקיים את משוואות המילטון.

המילטוניאן כאנרגיה הכוללת של המערכת

ביישומו למערכת פיזיקלית, נהוג לעיתים לזהות את ההמילטוניאן עם סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית:

$${\mathcal {H}}=T+V$$

כאשר $T$ היא האנרגיה הקינטית ו־$V$ היא האנרגיה הפוטנציאלית. שימוש בזהות זו עשוי להיות פשוט יותר מאשר חישוב הלגרנז'יאן ולאחר מכן גזירת ההמילטוניאן ממנו. עם זאת, הזהות אינה מתקיימת בכל מערכת.

הקשר הזה נכון במערכות לא־יחסותיות כאשר כל התנאים הבאים מתקיימים:

$${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$$ $${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$$ $$T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$$

כלומר, הזהות ${\mathcal {H}}=T+V$ מתקיימת אם $T$ אינו תלוי בזמן באופן מפורש (מערכת סקלרונומית), $V$ אינו תלוי במהירויות המוכללות, וכל איבר של $T$ הוא פונקציה ריבועית במהירויות המוכללות.

הוכחה

מתחילים מהגדרות ההמילטוניאן, התנע המוכלל והלגרנז'יאן במערכת בעלת $n$ דרגות חופש:

$${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}{\dot {q}}_{i})-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$$ $$p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$$ $${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$$

הצבת ההגדרות והנחות התלות מובילות, באמצעות משפט אוילר לפונקציות הומוגניות, לכך ש:

$${\mathcal {H}}=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)$$

יישום למערכת של מסות נקודתיות

במערכת של מסות נקודתיות, הדרישה לכך שהאנרגיה הקינטית תהיה ריבועית במהירויות תמיד מתקיימת, כל עוד האנרגיה הקינטית אינה תלויה בזמן באופן מפורש.

האנרגיה הקינטית ניתנת בצורתה הכללית:

$$T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$$

באמצעות כלל השרשרת עבור פונקציות מרובות משתנים מתקבל ביטוי ריבועי במהירויות המוכללות, העונה על התנאים הדרושים.

פונקציות יוצרות וסוגרי פואסון

פונקציות יוצרות

במכניקה המילטוניאנית, פונקציה יוצרת (Generating function) היא כלי מתמטי המאפשר לבצע טרנספורמציה קנונית בין קבוצות שונות של קואורדינטות ותנע מוכלל. כלומר, ניתן לעבור מתיאור של מערכת במשתנים $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$ למערכת משתנים אחרת $({\boldsymbol {Q}},{\boldsymbol {P}})$ תוך שמירה על הצורה הקנונית של משוואות המילטון.

הרעיון המרכזי הוא שקיימת פונקציה $F$, התלויה בשילוב מסוים של הקואורדינטות והתנעים, כך שהמשתנים החדשים נגזרים ממנה לפי כללי גזירה סטנדרטיים. בהתאם לבחירת המשתנים, נהוג להבחין בין ארבעה סוגים עיקריים של פונקציות יוצרות:

$F_{1}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {Q}},t)$

$F_{2}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {P}},t)$

$F_{3}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {Q}},t)$

$F_{4}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {P}},t)$

הקשרים בין המשתנים הישנים לחדשים מתקבלים על ידי גזירת הפונקציה היוצרת המתאימה. כך, פונקציות יוצרות מהוות שיטה סיסטמטית ליצירת טרנספורמציות קנוניות, ומאפשרות למצוא מערכות משתנים חדשות שבהן בעיית התנועה נעשית פשוטה יותר.

באופן מיוחד, כאשר הפונקציה היוצרת תלויה בזמן, היא משנה גם את צורת ההמילטוניאן, אך עדיין שומרת על הצורה הכללית של משוואות המילטון. זהו כלי מרכזי בהוכחת משפטים כלליים כמו משפט ליוביל ובמעבר למשוואות המילטון-יעקובי.

סוגרי פואסון

סוגר פואסון (Poisson bracket) הוא מבנה מתמטי המגדיר מעין "סוגר קומוטטיבי" בין שתי פונקציות על מרחב הפאזה של מערכת המילטוניאנית. אם $f({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$ ו־$g({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$ הן שתי פונקציות, סוגר פואסון שלהן מוגדר כ־

$$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)$$

הגדרה זו מקיימת תכונות אלגבריות המזכירות חבורת לי: היא אנטי־סימטרית (${f,g}=-{g,f}$), מקיימת את כלל לייבניץ, ואת זהות יעקובי.

סוגר פואסון ממלא תפקיד מרכזי במכניקה קלאסית מכמה סיבות:

משוואות המילטון עצמן ניתנות לכתיבה באמצעות סוגרי פואסון: ${\dot {f}}={f,{\mathcal {H}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$.

האובייקטים ה"מתמידים" של התנועה (כמו אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מזוהים על ידי הדרישה שסוגר פואסון שלהם עם ההמילטוניאן יתאפס.

האלגברה של סוגרי פואסון היא גם הבסיס למעבר למכניקת הקוונטים, שם היא מוחלפת בקומוטטור של אופרטורים.

באופן זה סוגרי פואסון מספקים ניסוח קומפקטי, אלגנטי וכללי של התפתחות בזמן ושל חוקי שימור במערכות המילטוניאניות.

קשר בין פונקציות יוצרות לסוגרי פואסון

טרנספורמציות קנוניות ניתן להגדיר גם באמצעות סוגרי פואסון. למעשה, טרנספורמציה אינפיניטסימלית של משתני פאזה ניתנת על ידי פונקציה יוצרת $G({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$, כך ש:

$$\delta q_{i}=\epsilon \{q_{i},G\},\qquad \delta p_{i}=\epsilon \{p_{i},G\}$$

כאשר $\epsilon$ פרמטר אינפיניטסימלי קטן.

בצורה זו, ניתן לראות את הפונקציה היוצרת $G$ כ"איבר יוצר" של הטרנספורמציה דרך סוגרי פואסון. ניסוח זה מאפשר קשר ישיר בין סימטריות של המערכת לבין חוקי שימור: אם $G$ אינו תלוי בזמן באופן מפורש, ושווה ערך לקבוע תנועה, אז הטרנספורמציה שהוא מייצר היא סימטריה של משוואות המילטון.

זהו ניסוח מודרני של משפט נתר במסגרת מכניקה המילטוניאנית.

התפתחות בזמן

במכניקה המילטוניאנית ההתפתחות בזמן של פונקציה כללית על מרחב הפאזה ניתנת בעזרת סוגר פואסון. נניח פונקציה $F({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$. הנגזרת הזמנית שלה היא:

$${\frac {dF}{dt}}=\{F,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial F}{\partial t}},$$

כאשר ${\mathcal {H}}$ הוא ההמילטוניאן של המערכת.

במקרה שבו $F$ אינו תלוי בזמן באופן מפורש (כלומר ${\tfrac {\partial F}{\partial t}}=0$), מקבלים:

$${\frac {dF}{dt}}=\{F,{\mathcal {H}}\}.$$

נגזרות מסדר גבוה

החלת הפעולה שוב ושוב מניבה נגזרות גבוהות יותר:

$${\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\{\{F,{\mathcal {H}}\},{\mathcal {H}}\},\qquad {\frac {d^{3}F}{dt^{3}}}=\{\{\{F,{\mathcal {H}}\},{\mathcal {H}}\},{\mathcal {H}}\},\ \dots$$

טור טיילור של ההתפתחות בזמן

הפיתוח בטור סביב $t=0$ נותן:

$$F(t)=F(0)+t\,\{F,{\mathcal {H}}\}+{\frac {t^{2}}{2!}}\,\{\{F,{\mathcal {H}}\},{\mathcal {H}}\}+{\frac {t^{3}}{3!}}\,\{\{\{F,{\mathcal {H}}\},{\mathcal {H}}\},{\mathcal {H}}\}+\cdots .$$

צורה קומפקטית משתמשת באופרטור לי:

$${\mathcal {L}}_{\mathcal {H}}(\,\cdot \,)\equiv \{\,\cdot \,,{\mathcal {H}}\},\qquad F(t)=e^{\,t{\mathcal {L}}_{\mathcal {H}}}\,F(0).$$

דוגמה: גוף בשדה כבידה אחיד

נבחן תנועה בממד אחד לאורך $z$ עם המילטוניאן $${\mathcal {H}}(z,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz,$$ כאשר $m$ מסת הגוף ו־$g$ תאוצת הכבידה.

נחשב את סוגרי פואסון:

$$\{z,{\mathcal {H}}\}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {p}{m}},\qquad \{p,{\mathcal {H}}\}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial z}}=-mg.$$

כעת נשתמש בטור טיילור:

עבור התנע:

$$p(t)=p_{0}+t,{p,{\mathcal {H}}}+{\frac {t^{2}}{2}}{{p,{\mathcal {H}}},{\mathcal {H}}}+\cdots =p_{0}-mgt,$$ כי האיברים מסדר גבוה מתאפסים (הכוח קבוע).

עבור המקום:

$$z(t)=z_{0}+t,{z,{\mathcal {H}}}+{\frac {t^{2}}{2}}{{z,{\mathcal {H}}},{\mathcal {H}}}+\cdots =z_{0}+{\frac {p_{0}}{m}}t-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}.$$

זהו הפתרון המדויק הידוע לתנועה תחת שדה כבידה אחיד.

משוואת המילטון–יעקובי

משוואת המילטון–יעקובי היא ניסוח מתמטי שקול למכניקה המילטוניאנית, ומשמשת כגשר חשוב בין מכניקה קלאסית למכניקה קוונטית. המשוואה מציגה את הדינמיקה של מערכת באמצעות פונקציה סקלרית יחידה, הנקראת הפונקציה המייצרת הראשית (Hamilton’s principal function).

צורה כללית

נתון המילטוניאן של מערכת:

$${\mathcal {H}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t),$$

כאשר ${\boldsymbol {q}}=(q_{1},\ldots ,q_{n})$ הם הקואורדינטות המוכללות, ${\boldsymbol {p}}=(p_{1},\ldots ,p_{n})$ התנעים המוכללים, ו־$n$ מספר דרגות החופש.

מגדירים את פונקציית הפעולה (Hamilton’s principal function):

$$S({\boldsymbol {q}},t)\equiv \int \left(\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}-{\mathcal {H}}\,dt\right),$$

שמקיימת את התנאי $$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.$$

אזי משוואת המילטון–יעקובי היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור $S({\boldsymbol {q}},t)$:

$${\frac {\partial S}{\partial t}}+{\mathcal {H}}\!\left({\boldsymbol {q}},\,{\frac {\partial S}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\,t\right)=0.$$זוהי מד"ח בעלת n+1 משתנים, כלומר ישנם n+1 קבועים כאשר אחד מהם הוא קבוע לפונקציה $S$ והוא חסר חשיבות. הפתרון יהיה תלוי ב-$n$ פרמטרים $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$.

חשיבות והקשרים

פתרון המשוואה מאפשר למצוא ישירות את מסלולי המערכת באמצעות גזירת $S$.

המשוואה מהווה ניסוח שקול למשוואות המילטון, אך לעיתים קל יותר למצוא את $S$ מאשר את ${\boldsymbol {q}}(t)$ ו־${\boldsymbol {p}}(t)$ ישירות.

מהווה בסיס למעבר למשוואת שרדינגר במכניקה קוונטית: אם נציב $\Psi \sim e^{iS/\hbar }$ במשוואת שרדינגר, נקבל בקירוב הקלאסי את משוואת המילטון–יעקובי.

קשורה ישירות למשפט נתר: סימטריות של הפוטנציאל מובילות לקבועי תנועה המופיעים בפונקציה $S$.

צורה בזמן בלתי תלוי

כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי בזמן במפורש, אפשר לבצע הפרדת משתנים ולכתוב $$S({\boldsymbol {q}},t)=W({\boldsymbol {q}})-Et,$$ כאשר $E$ הוא קבוע האנרגיה.

אז משוואת המילטון–יעקובי הופכת ל:

$${\mathcal {H}}\!\left({\boldsymbol {q}},\,{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right)=E,$$

זוהי צורה סטטית של המשוואה, שבה $W({\boldsymbol {q}})$ נקראת פונקציית המילטון המקדימה (Hamilton’s characteristic function).

דוגמאות

מתנד הרמוני חד־ממדי ההמילטוניאן: ${\mathcal {H}}={\tfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}.$ משוואת המילטון–יעקובי הסטטית היא:

$${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dW}{dq}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}q^{2}=E.$$ זו משוואה דיפרנציאלית רגילה שניתן לפתור עבור $W(q)$, ומשם לחלץ את הפתרון הדינמי.

חלקיק בשדה כבידה אחיד ${\mathcal {H}}={\tfrac {p^{2}}{2m}}+mgz.$ משוואת המילטון–יעקובי:

$${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}+mgz+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.$$ הפרדת משתנים נותנת פתרון מהצורה $S(z,t)=W(z)-Et$ עם $${\frac {1}{2m}}\left({\frac {dW}{dz}}\right)^{2}+mgz=E.$$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מכניקה המילטונית בוויקישיתוף