מכפלה חיצונית

באלגברה ליניארית, מכפלה חיצונית (באנגלית: outer product) היא פעולה על שני וקטורי קואורדינטות שתוצאתה היא מטריצה שכל ערכיה הם מכפלות של איבר בווקטור הראשון עם איבר בווקטור השני. אם וקטורי הקואורדינטות הם מממדים $n$ ו־$m$, אזי המכפלה החיצונית שלהם היא מטריצה מסדר $n\times m$. באופן כללי יותר, בהינתן שני טנזורים (מערכים רב-ממדיים של מספרים), המכפלה החיצונית שלהם היא טנזור. המכפלה החיצונית של טנזורים מכונה גם מכפלה טנזורית, וניתן להשתמש בה כדי להגדיר את אלגברת הטנזורים.

מכפלה חיצונית אינה:

• מכפלה סקלרית (מקרה פרטי של מכפלה פנימית), אשר מקבלת זוג וקטורי קואורדינטות כקלט ומייצרת סקלר.
• מכפלת קרונקר (Kronecker product), אשר לוקחת זוג מטריצות כקלט ומייצרת מטריצת בלוקים
• כפל מטריצות סטנדרטי

הגדרה

בהינתן שני וקטורי עמודה שממדיהם $m\times 1$ ו־$n\times 1$ בהתאמה,

$\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$

המכפלה החיצונית שלהם, המסומנת $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$, היא מטריצה $\mathbf {A}$ מסדר $m\times n$ המתקבלת מהכפלת כל איבר של $\mathbf {u}$ בכל איבר של $\mathbf {v}$:

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}$

או, בסימון אינדקסי:

$(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}$

אם נתון וקטור $\mathbf {w}$ שממדיו הם $n\times 1$, אז $(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u}$. אם נתון וקטור $\mathbf {x}$ שממדיו הם $1\times m$, אז $\mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\textsf {T}}$. "$\,\cdot \,$" מסמנת מכפלה סקלרית.

אִם $\mathbf {u}$ ו־$\mathbf {v}$ הם וקטורים מממד זהה, גדול מ-1, אז $\det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0$.

המכפלה החיצונית $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ שקולה לכפל המטריצות $\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}$, בתנאי שהווקטור $\mathbf {u}$ מיוצג כווקטור עמודה בשממדיו $m\times 1$ והווקטור $\mathbf {v}$ מיוצג כווקטור עמודה בשממדיו $n\times 1$ (כלומר $\mathbf {v} ^{\textsf {T}}$ הוא וקטור שורה). לדוגמה, אם $m=4$ ו־$n=3$, אז:

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}$.

עבור וקטורים מרוכבים, לעיתים קרובות שימושי לקחת את המטריצה הצמודה של $\mathbf {v}$, המסומנת $\mathbf {v} ^{\dagger }$ אוֹ $\left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}$:

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}$.

תכונות

מכפלה חיצונית של וקטורים מקיימת את התכונות הבאות:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}$

מכפלה חיצונית של טנזורים מקיימת את תכונת האסוציאטיביות הנוספת:

$(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )$

דרגה של מכפלה חיצונית

אם הווקטורים $\mathbf {u}$ ו־$\mathbf {v}$ שונים מאפס, אז מטריצת המכפלה החיצונית $\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}$ תמיד תהיה מדרגה 1. ואכן, כל העמודות של המכפלה החיצונית פרופורציונליות ל־$\mathbf {u}$. לכן כולן תלויות ליניארית בעמודה זו, ולכן המטריצה היא מדרגה 1.

אין לבלבל בין דרגה של מטריצה לבין סדר או דרגה של טנזורים.

יישומים

מכיוון שהמכפלה החיצונית קשורה קשר הדוק למכפלת קרונקר, חלק מהיישומים של מכפלת קרונקר משתמשים במכפלות חיצוניות. יישומים אלה נמצאים במכניקת הקוונטים, עיבוד אותות ודחיסת תמונה.

במכניקת הקוונטים מקובל סימון ברה-קט לווקטורים במרחב הילברט, כאשר וקטור מוצג כ-$|\psi \rangle$ והווקטור הדואלי (שהוא למעשה צמוד הרמיטי) מוצג כ-$\langle \psi |$. בסימון זה מכפלה חיצונית נכתבת כ-$\psi \otimes \phi =|\psi \rangle \langle \phi |$. בצורת רישום זאת, הזהות $(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u}$ היא מיידית: $(|u\rangle \langle v|)|w\rangle =|u\rangle \langle v|w\rangle =\langle v|w\rangle |u\rangle$ כי $\langle \psi |\phi \rangle \in \mathbb {C}$ היא מכפלה פנימית שמחזירה סקלר.

ראו גם

• נורמה (אנליזה)
• מכפלה קרטזית
• מכפלה וקטורית
• מכפלת אדמר (מטריצות)
• סימון דיראק למכפלה חיצונית
• צמוד מרוכב
• מטריצה צמודה
• שחלוף

לקריאה נוספת

• Carlen, Eric; Canceicao Carvalho, Maria (2006). "Outer Products and Orthogonal Projections". Linear Algebra: From the Beginning. Macmillan. pp. 217–218. ISBN 9780716748946.