מלכודת פאול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
חלקיקי אבק לכודים במלכודת פאול

מלכודת פאול היא מלכודת חלקיקים אלקטרודינמית, שלוכדת חלקיקים טעונים (יונים) באמצעות שדות קוואדרופולים חשמליים. מלכודת זו פותחה על ידי וולפגנג פאול (Wolfgang Paul) ב-1958 בגרמניה, זו זיכתה אותו לימים בפרס נובל לפיזיקה, בשנת 1989. המלכדות התגלתה כיעילה בשימור החלקיקים בתוכה לאורך זמן ועל כן איפשרה את חקירת התנהגות החלקיקים ותכונותיהם.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

תרשים של מלכודת פאול קלאסית. חלקיק בעל מטען חיובי (אדום כהה) מוקף בענן חלקיקים דומים (אדום בהיר). השדה החשמלי E (קווי השדה בצבע תכלת) נוצר על ידי הפעלת מתח אוסילטורי זהה על אלקטורודות a ומתח בעל פאזה הפוכה על האלקטרודה בצורת טבעת-b. תמונות 1 ו 2 מתארות מצבים שונים במהלך מחזור של מתח החילופין AC.

בתכנון הבסיס של מלכודות פאול, ישנן אלקטרודות היוצרות שדה חשמלי בצורת אוכף - כלומר שדה חשמלי שבו בכיוון אחד ישנו מינימום, אך בכיוון הניצב הוא מקסימום. נדמיין אוכף ממשי, אם נניח כדור במרכזו- הוא יתגלגל במורד האוכף. אך אם נסובב את המשטח עליו מונח האוכף בתדירות גבוהה מספיק אז הכדור יתייצב במרכזו תוך כדי ביצוע תנודות קטנות. לכן במקרה שלנו, כאשר מפעילים על אותן אלקטרדות במלכודת מתח המשתנה עם הזמן, המתח גורם לאוכף להסתובב. שיווי המשקל הופך ליציב כאשר תדר הסיבוב של האוכף מתאים למסת החלקיק ומטענו.

התכנון המקורי של פאול נועד ליצור אוכף מדויק, ולכן נקרא כיום מלכודת יונים קוודרופולית (quadrupole ion trap). הוא מבוסס על שתי אלקטרודות בצורת היפרבולה הממוקמות בחלק העליון ובחלק התחתון של המלכודת, ביניהם ישנה אלקטרודה בצורת טבעת. היונים נלכדים בין האלקטרודות על ידי כך שיוצרים מתח משתנה אוסילטורית (AC) ובנוסף מתח קבוע בזמן (DC) בין האלקטרודות ובכך יוצרים בחלל ביניהם שדות חשמליים קוואדרופולים דינמיים. הרעיון הכללי של לכידת יונים על ידי שדות חשמליים אוסילטורים אינו דורש תכנון מדויק מאוד של המלכודת וישנם גאומטריות רבות המאפשרות לכידה ומשמשות לשימושים שונים.

תרשים של מלכודת המבוססת על המלכודת פאול. ניתן לשנות את צורתן המדויקת של האלקטרודות כך שעדיין נקבל שדה קוואדרופולי דינמי. במקרה זה, החולפו האלקטרודות ההיפרבוליות בספרות כדוריות.

ניתוח מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבנה המלכודת[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מנת ללכוד חלקיקים במלכודת איזוטרופית והרמונית יש להפעיל כח מהצורה 
\,F =-{c}{r} 
כאשר r הוא המרחק ממרכז המלכודת ו- c הוא קבוע חיובי. כך, ככל שהחלקיק יתרחק, הכח המופעל עליו לכיוון מרכז המלכודת יגדל. כח שכזה נגזר מפוטנציאל מהצורה \varphi\sim({\alpha}{x^2}+{\beta}{y^2}+{\gamma}{z^2}). ניתן ליצור פוטנציאל מהצורה הזו על ידי שדות ממולטיפולים חשמלים ומגנטים דינמיים.

ממשוואת לפלס \nabla^2\varphi=0 נקבל ש \,\alpha+\beta+\gamma=0

על מנת לקבל פתרון שיתאר פוטנציאל תלת ממדי בעל סימטריה גלילית, נדרוש \,\alpha,\beta=-1 ו- \,\gamma=2 אם כן, הפוטנציאל בקאורדינטות גליליות יהיה

\varphi={\varphi_0}{\frac{{2}{z^2}+(r_0^2-r^2)}{{4}{z_0^2}}}

כאשר z^2=(r^2-r_0^2)/2 ו z^2=z_0^2+r_0^2/2 וכן 2z_0^2=r_0^2

משואות אלה מתארות את צורת האלקטרודות הבונות את המלכודת, \,r_0 הוא רדיוס האלקטרודה הטבעתית ו- \,z_0 הוא המרחק בין האלקטרודות ההיפרבוליות. \varphi_0 הוא הפוטנציאל המופעל על האלקטרודות ובאופן כללי ניתן על ידי \varphi_0=V_{dc}-{V_{ac}}{\cos({\Omega}{t})}

משוואות התנועה[עריכת קוד מקור | עריכה]

השדה החשמלי הנגזר מפוטנציאל זה משתנה לינארית כתלות במרחק:

E_z=-\frac{\partial \varphi}{\partial z}=-\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{z_0^2}z

E_r=-\frac{\partial \varphi}{\partial r}=\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{2z_0^2}r

מכאן נקבל את משוואות התנועה של חלקיק בעל מסה M ומטען Q:

\frac{d^2z}{dt^2}-\frac{Q}{M}\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{z_0^2}z=0

\frac{d^2r}{dt^2}+\frac{Q}{M}\frac{(V_{dc}-V_{ac}\cos{\Omega t})}{2z_0^2}r=0

ממשוואות אלה ניתן לראות שהתנועה בציר z נבדלת מהתנועה במישור xy בסימן ובפקטור 2. הסימן מעיד על צורת האוכף ואילו הפקטור 2 יוצר מצב שבו החלקיק "יעדיף" להילכד מאשר לברוח מהמלכודת, כלומר, המדרונות הכולאים יותר "תלולים" מהמדרונות המפזרים.

את משוואות התנועה ניתן לכתוב בצורה כללית ,חסרת יחידות בצורה של משוואות מת'יו  :

אזורי יציבות של משוואת מת'יו כתלות בפרמטרים a ו-q

\frac{d^2u}{d\xi^2}+(a_u-2q_u\cos{2\xi})u=0

כאשר u מייצג את z או r, הגודל \,\xi הוא חסר יחידות הנתון על ידי \,\xi=\Omega t/2

בנוסף, הגדרנו פרמטרים, אף הם חסרי יחידות:

a_z=-2a_r=4\frac{Q}{M}\frac{V_{dc}}{z_0^2}\frac{1}{\Omega^2}

q_z=-2q_r=2\frac{Q}{M}\frac{V_{ac}}{z_0^2}\frac{1}{\Omega^2}

למשוואת מת'יו אין פתרון אנליטי אלא רק נומרי או בעזרת סימולצית מחשב. הפרמטרים a ו- q מאפיינים את המשוואה ומגדירים אזורי יציבות ואי יציבות של פתרון המשוואה.

כיוון שהלכידה נעשית בלחץ אטמוספירי, החיכוך עם האוויר הוא גורם מרכזי בתנועת החלקיקים ובלכידתם. לכן, נוסיף גורם למשוואת התנועה התלוי לינארית במהירות החלקיקים \,b \frac{du}{d\xi}.

ניתוח תנועת החלקיקים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעתה נתמקד בתנועה על ציר z, התנועה על מישור xy אנלוגית לחלוטין, להבדיל מהפקטור המצוין לעיל. משוואות מת'יו מתארות תנועה המורכבת מתנודות קטנות, \,\delta(t), בתדירות הזהה לתדירות המתח האוסילטורי, \,\Omega. תנועה זו מכונה micromotion, זוהי תנועת החלקיק סביב נקודת שיווי משקל. בנוסף, המשוואות מתארות תנועה איטית יותר, \bar{z}(t), המכונה secular motion זוהי תנועת החלקיקים לכיוון מרכז המלכודת כתוצאה מהכח המופעל עליהם. ניתן לדמות את תנועת החלקיקים לתנועתה של מטוטלת שתוך כדי תנועה משנה את אורכה בתדירות \,\Omega.

את ה secular motion ניתן לתאר בקירוב כתנועה הרמונית \frac{d^2\bar{z}}{dx^2}\simeq -\frac{q_z^2}{2}\bar{z}, על כן הפוטנציאל האפקטיבי שמרגיש חלקיק בבור הוא \bar{U}_{eff}= \frac{1}{2}\frac{\bar{\omega}_z^2 z^2}{Q/M} כאשר \bar{\omega}_z=\frac{q_z\Omega}{2^{3/2}}.

מלכודת פאול כספקטרומטר מסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש במלכודת לצורך ברירת חלקיקים לפי מסתם, כלומר להשתמש בה כספקטרומטר מסות.

ראינו שתנועת החלקיקים מאופיינת על ידי התדירות \bar{\omega}_z בציר z ו\bar{\omega}_r במישור xy. בנתוני שדה קבועים, התדירות משתנה בהתאם ליחס \,Q/M של החלקיק.לכן, ברגע שתדירות המתח שמופעל על האלקטרודות \Omega תהיה שווה ל \bar{\omega}_z נקבל תהודה עבור חלקיקים עם היחס \,Q/M המתאים ל \bar{\omega}_z. אותם חלקיקים ינועו בתנועה הרמונית עם משרעת שתגדל באופן לנארי עם הזמן עד שיברחו מהמלכודת. לכן, אם נציב גלאי אלקטרונים מחוץ למלכודת נוכל למדוד את המטען של החלקיקים שנפלטו מהמלכדות ומכאן, נוכל לחשב את מסתם.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • W. Paul .1990. Electromagnetic Traps for Charged and Neutral Particles. Reviews of Modern Physics.62(3):531-540
  • S. Robertson. 1995. Experimental studies of charged dust particles. Phys plasmas 2(6):2200-6
  • S. Robertson and R. Younger. 1998. Coulomb crystals of oil droplets, Am.J. Phys. 67(4):310-4
  • H. Winter and H.W. Ortjohann. 1991. Simple demonstration of dtoring macroscopic particles in a "Paul Trap". Am.J.Phys.59(9):807-13

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]