מספרי אוילר

מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):

$${\text{sech}}(t)={\frac {1}{\cosh(t)}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}$$

ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: $E_{0}=1,\quad E_{n}=-\sum _{k\,=\,0}^{n\,-\,1}{\binom {n}{k}}E_{k}$,

ובקירוב: $E_{2n}\approx (-1)^{n}8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}$

• סקאנט: ${\displaystyle \sec(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad$ :|x|<{\frac {\pi }{2}}}

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln(x)^{n}}{1+x^{2}}}dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}$

מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:

${\begin{aligned}&E_{0}=1\\&E_{2}=-1\\&E_{4}=5\\&E_{6}=-61\\&E_{8}=1385\\&E_{10}=-50521\\&E_{12}=2,702,765\\&E_{14}=-199,360,981\\&E_{16}=19,391,512,145\\&E_{18}=-2,404,879,675,441\end{aligned}}$

ראו גם

• מספרי ברנולי

קישורים חיצוניים

• מספרי אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)
• מספרי אוילר – סדרת המקדמים הזוגיים באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים