מספרי אוילר

מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):

$$\operatorname {sech} (t)={\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}\!$$

ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: $\ E_{0}=1;E_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}E_{k}$,

ובקירוב: $E_{2n}\approx (-1)^{n}8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}({\frac {4n}{\pi e}})^{2n}$.

• סקאנט: $\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}$

מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1,385

E₁₀ = −50,521

E₁₂ = 2,702,765

E₁₄ = −199,360,981

E₁₆ = 19,391,512,145

E₁₈ = −2,404,879,675,441

ראו גם

• מספרי ברנולי

קישורים חיצוניים

• מספרי אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)
• מספרי אוילר – סדרת המקדמים הזוגיים באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים