מספר אור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעיתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.

לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:

ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:

גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.

מספרי אור ומספרים מושלמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו , מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל- עצמו.[1] מכאן נובע ש- הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את .

אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם הוא בדיוק . לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא , כאשר ‎ הוא מספר המחלקים של . לכל , הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק של , מחלק שונה ממנו - . אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה , כאשר . לכן, עבור מספר מושלם כלשהו , הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא . לכן, הוא מספר אור-הרמוני.

אור שיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

חסמים וחיפושים באמצעות מחשב[עריכת קוד מקור | עריכה]

W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-107,[2] ו-Graeme L. Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.

Cohen,‏ Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×109, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז או .[3]
  • אם הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז הוא לא אור-הרמוני.[4]
  • אם הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז הוא מספר מושלם זוגי.[5]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ אם הוא מספר המחלקים והסכום עובר על כל המחלקים של , אז
  2. ^ אך לא פרסם. Muskat, Joseph B. (1966). "On Divisors of Odd Perfect Numbers". Mathematics of Computation 20 (93): 141–144. doi:10.2307/2004277
  3. ^ Ore, Øystein (1948). "On the averages of the divisors of a number". American Mathematical Monthly 55: 615–619
  4. ^ M. Garcia, "On numbers with integral harmonic mean". American Mathematical Monthly 61 (1954), 89-96
  5. ^ C. Pomerance, Abstract 709-A5, Notices American Mathematical Monthly 20 (1913) A-648.