מספר היפר-ממשי

במתמטיקה, מספרים היפר-ממשיים הם הרחבה של המספרים הממשיים הכוללת סוגים מסוימים של מספרים אינסופיים ואינפיניטסימליים.^[1] מספר היפר-ממשי $x$ מוגדר כסופי אם ורק אם $|x|<n$ עבור מספר שלם כלשהו $n$ .^[1]^[2] $x$ מוגדר כאינפיניטסימלי אם ורק אם $|x|<{\frac {1}{n}}$ עבור כל המספרים השלמים החיוביים $n$ .^[1]^[2] המונח "היפר-ממשי" הוצג על ידי אדווין יואיט בשנת 1948.^[3]

המספרים ההיפר-ממשיים מקיימים את עקרון ההעברה, גרסה קפדנית של חוק הרציפות של לייבניץ. עיקרון זה קובע כי משפטים מסדר ראשון שנכונים לגבי $\mathbb {R}$ , נכונים גם לגבי $\mathbb {R^{*}}$ (שדה ההיפר-ממשיים).^[4] לדוגמה, חוק החיבור הקומוטטיבי, x + y = y + x, מתקיים גם בהיפר-ממשיים בדיוק כפי שהוא מתקיים בממשיים; מכיוון ש- $\mathbb {R}$ הוא שדה סגור ממשית, כך גם $\mathbb {R^{*}}$ . מאחר ש- $\sin({\pi n})=0$ עבור כל n שלם, כך גם $\sin({\pi H})=0$ עבור כל המספרים ההיפר-שלמים $H$ . עקרון ההעברה עבור על-חזקות הוא תוצאה של משפט לוש משנת 1955.

החשש מתקפותם של טיעונים המבוססים על מספרים אינפיניטסימליים מקורו כבר במתמטיקה היוונית העתיקה. לדוגמה, ארכימדס נמנע מהסתמכות על מושגים כאלה, ובמקום זאת עשה שימוש בשיטות חלופיות, כמו שיטת המיצוי,^[5] כדי להוכיח תוצאות מדויקות ללא שימוש באינפיניטסימליים. בשנות ה־60 של המאה ה־20, הראה המתמטיקאי אברהם רובינזון כי ניתן לבסס תיאוריה מתמטית עקבית הכוללת מספרים אינפיניטסימליים באמצעות בניית שדה המספרים ההיפר־ממשיים. רובינזון הוכיח כי שדה זה עקבי מבחינה לוגית אם ורק אם שדה המספרים הממשיים עקבי גם הוא. ההוכחה הראתה כי כל עוד הטיעונים מתבססים על מערכת כללים לוגיים מדויקת ניתן להשתמש במספרים אינפיניטסימליים באופן קביל ולגיטימי במסגרת מתמטית פורמלית.

השימוש במספרים היפר-ממשיים—ובפרט עקרון ההעברה—בפתרון בעיות באנליזה נקרא אנליזה לא סטנדרטית. אחד היתרונות המידיים של גישה זו הוא האפשרות להגדיר מושגי יסוד באנליזה, כגון נגזרת ואינטגרל, באופן ישיר ואינטואיטיבי מבלי להידרש למורכבות הלוגית הכרוכה בקיומם של כמתים הנמצאים בניסוח הסטנדרטי. לכן, הנגזרת של $f(x)$ הופכת ל- $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ עבור $\Delta x$ אינפיניטסימלי, כאשר $st(x)$ מייצגת את פונקציית החלק הסטנדרטי, אשר "מעגלת" כל מספר היפר-ממשי סופי למספר הממשי הקרוב ביותר. באופן דומה, האינטגרל מוגדר כחלק הסטנדרטי של טור אינסופי מתאים.

עקרון ההעברה

הרעיון של שדה ההיפר-ממשיים הוא להרחיב את קבוצת המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ לשדה חדש $\mathbb {R^{*}}$ , שכולל גם מספרים אינפיניטסימליים וגם אינסופיים, אך מבלי לשנות את האקסיומות הבסיסיות של האלגברה. כל טענה מהצורה "לכל מספר x..." שמתקיימת בממשיים, נשארת נכונה גם בהיפר-ממשיים. לדוגמה, האקסיומה "לכל x, מתקיים x + 0 = x" עדיין תקפה, וכך גם טענות עם כמתים של כמה משתנים כמו "לכל x ו-y, מתקיים xy = yx". יכולת זו להעביר טענות מהממשיים להיפר-ממשיים נקראת עקרון ההעברה.עם זאת, טענות מהצורה "לכל קבוצה של מספרים S..." לא תמיד נשמרות. ההבדלים בין הממשיים להיפר-ריאליים מופיעים רק בטענות שתלויות בקבוצות או מבנים מורכבים אחרים כמו פונקציות ויחסים. לכל קבוצה, פונקציה או יחס ממשיים יש הרחבה טבעית בהיפר-ממשיים, ששומרת על אותן תכונות לוגיות מסדר ראשון, כלומר טענות שלא כמותיות על קבוצות.

למרות השימור של תכונות רבות במעבר בין השדות, עקרון ההעברה אינו אומר שההתנהגות של $\mathbb {R}$ ו- $\mathbb {R^{*}}$ זהה. לדוגמה, ב- $\mathbb {R^{*}}$ קיים איבר ω כך ש

1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .

אך מספר כזה לא קיים ב- $\mathbb {R}$ . במילים אחרות, $\mathbb {R^{*}}$ אינו מקיים את תכונת ארכימדס. הדבר אפשרי משום שהקיום של המספר ω אינו ניתנת לניסוח במסגרת שפה מסדר ראשון ולכן אינו נשמר לפי עקרון ההעברה.

שימוש באנליזה

סימונים בלתי-פורמליים עבור גדלים לא-ממשיים הופיעו בהיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי בשני הקשרים עיקריים: כאינפיניטסימליים, כמו $dx$ , וכסימן $\infty$ , המשמש, למשל, בגבולות של אינטגרלים לא אמיתיים.

כדוגמה לעקרון ההעברה, הטענה שלכל מספר שונה מאפס x מתקיים $2x\neq x$ , נכון עבור המספרים הממשיים, וכתוב בצורה שמאפשרת העברה, ולכן הוא נכון גם עבור המספרים ההיפר-ממשיים. מכאן נובע שלא ניתן להשתמש בסמל כללי כמו $\infty$ כדי לייצג את כל המספרים האינסופיים במערכת ההיפר-ממשיים, מאחר שיש הבדלים בגודל בין אינסופים שונים, וכך גם בין אינפיניטסימלים שונים.

באופן דומה, השימוש הלא פורמלי בטענה ש- ${\frac {1}{0}}=\infty$ אינו תקף, כיוון שלפי עקרון ההעברה, לאפס אין הופכי כפלית והדבר נכון גם בהיפר-ממשיים. הניסוח המדויק יותר עבור המספרים ההיפר-ממשיים הוא: אם $\varepsilon$ הוא אינפיניטסימלי שונה מאפס, אז ${\frac {1}{\varepsilon }}$ הוא מספר אינסופי.

עבור כל מספר היפר-ממשי סופי x, מוגדרת פונקציית החלק הסטנדרטי, $st(x)$ , שהיא המספר הממשי הייחודי הקרוב ביותר ל-x, ונבדלת ממנו רק באינפיניטסימלי זניח. ניתן להגדיר את פונקציית החלק הסטנדרטית גם עבור מספרים היפר-ממשיים אינסופיים באופן הבא: אם x הוא מספר היפר-ממשי אינסופי חיובי, יש להגדיר $\operatorname {st} (x)=+\infty$ . ובאופן דומה, אם x הוא מספר היפר-ממשי אינסופי שלילי, יש להגדיר $\operatorname {st} (x)=-{\infty }$ . הרעיון הוא שמספר היפר-ממשי אינסופי אינו "האינסוף האמיתי", אך הוא קרוב אליו יותר מכל מספר ממשי.

נגזרת

אחד השימושים המרכזיים במערכת ההיפר-ממשיים הוא מתן משמעות מדויקת לסימון הדיפרנציאלי $d$ שבו השתמש לייבניץ כדי להגדיר נגזרות ואינטגרלים.

עבור כל פונקציה ממשית $f$ , מוגדר הדיפרנציאל $df$ כפעולה שממפה כל זוג סדור $(x,dx)$ – כאשר $x$ הוא ממשי ו- $dx$ הוא אינפיניטסימלי שונה מאפס – בתור אינפיניטסימל.

df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx

.

פונקציה ממשית $f$ נקראת גזירה בנקודה מסוימת $x$ אם המנה

{\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)

מחזירה אותה תוצאה עבור כל $dx$ אינפיניטסימלי שאינו אפס. במקרה כזה, המנה הזו היא הנגזרת של $f$ בנקודה $x$ .

לדוגמה, כדי למצוא את הנגזרת של הפונקציה הפרבולית $f(x)=x^{2}$ , נניח ש- $dx$ הוא אינפיניטסימלי שונה אפס. אז:

$=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$	${\frac {df(x,dx)}{dx}}$
$=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)$
$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)$
$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)$
$=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)$
$=2x$

השימוש במספרים היפר-ממשיים לצורך גזירה מאפשר גישה אלגברית נוחה יותר לטיפול בנגזרות. בגזירה הסטנדרטית, דיפרנציאלים חלקיים ודיפרנציאלים מסדר גבוה אינם ניתנים לטיפול אלגברי עצמאי, אך במערכת ההיפר-ממשיים ניתן לבנות מערכת כזו, אם כי עם סימון מעט שונה.^[6]

אינטגרציה

שימוש מרכזי נוסף בשדה המספרים ההיפר-ממשיים הוא הענקת משמעות מדויקת לסימן האינטגרל $\int$ , שבו השתמש לייבניץ כדי להגדיר את האינטגרל המסוים.

לכל פונקציה אינפיניטסימלית $\varepsilon (x)$ ניתן להגדיר את האינטגרל $\int (\varepsilon )$ שפעולה שממפה כל משולש מסודר $(a,b,dx)$ (כאשר $a$ ו- $b$ הם ממשיים, ו- $dx$ הוא אינפיניטסימל בעל אותו סימן כמו $\,b-a$ ) לערך

\int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),

כאשר $N$ הוא מספר היפר-שלם המקיים $\operatorname {st} (N\ dx)=b-a$ .

פונקציה ממשית $f$ נקראת אינטגרבילית על פני הקטע הסגור $[a,b]$ אם עבור כל אינפיניטסימל שונה מאפס $dx$ , האינטגרל

\int _{a}^{b}(f\ dx,dx)

אינו תלויה בבחירת ה- $dx$ . במקרה כזה, האינטגרל נקרא האינטגרל המסוים של $f$ על הקטע $[a,b]$ .

תכונות

שדה ההיפר-ממשיים $\mathbb {R^{*}}$ הוא שדה סדור הכולל את הממשיים $\mathbb {R}$ כתת-שדה. בניגוד לממשיים, ההיפר-ממשיים אינם מרחב מטרי סטנדרטי, אך עקב הסדר שלהם הם נושאים טופולוגיית סדר.

פיתוח

מערכת ההיפר-ריאליים יכולה להיבנות באופן אקסיומטי או בשיטות קונסטרוקטיביות יותר. מהות הגישה האקסיומטית היא לקבוע שקיים לפחות מספר אינפיניטסימלי אחד; ולהניח את תקפות עקרון ההעברה. השיטה הקונסטרוקטיבית מאפשרת לבנות את ההיפר-ממשיים בהינתן אובייקט תאורטי בשם אולטרה-פילטר, אך האולטרה-פילטר עצמו לא ניתן לבנייה מפורשת.

מלייבניץ ועד רובינזון

כאשר ניוטון ולייבניץ הציגו את הדיפרנציאלים, הם השתמשו באינפיניטסימלים שנחשבו עדיין שימושיים על ידי מתמטיקאים מאוחרים יותר כמו אוילר וקושי. עם זאת, כבר אז עמדו בפני חשדו, במיוחד על ידי ג'ורג' ברקלי שתקף את ההנחה ש- $dx$ שונה מאפס בתחילת החישוב אך נעלם בסופו. במאה ה-19, עם הנחת יסודות מוצקים לחשבון אינפיניטסימלי באמצעות הגדרת הגבול בשימוש ε ו-δ של בולצאנו, קושי, ויירשטראס ואחרים, האינפיניטסימלים נזנחו ברובם, אם כי המחקר בשדות שאינם-ארכימדיים נמשך.

עם זאת, בשנות ה-60 הראה אברהם רובינזון כיצד ניתן להגדיר בצורה קפדנית מספרים אינסופיים ואינפיניטסימליים, ופיתח את תחום האנליזה הלא סטנדרטית.^[7] רובינזון עשה זאת בשיטה לא־קונסטרוקטיבית בעזרת תורת המודלים, אך ניתן גם לפתח את התיאוריה תוך שימוש באלגברה וטופולוגיה בלבד, ולהוכיח את עקרון ההעברה כתוצאה מההגדרות. כלומר, למספרים ההיפר-ממשיים עצמם אין קשר הכרחי לתורת המודלים או לשפה מסדר ראשון, אף על פי שהם התגלו על ידי יישום טכניקות תאורטיות של מודלים מהשפה. למעשה, שדות היפר-ממשיים הוצגו לראשונה על ידי אדווין יואיט ב-1948 באמצעות שיטות אלגבריות גרידא, בעזרת בנייה של על-חזקות.

תכונות של מספרים אינפיניטסימליים ואינסופיים

המספרים ההיפר-ממשים הסופיים $F$ מהווים חוג מקומי, ולמעשה תחום הערכה, כשהאידיאל המקסימלי היחיד $S$ הוא קבוצת האינפיניטסימליים; המנה ${\frac {F}{S}}$ איזומורפית למספרים הממשיים $\mathbb {R}$ . מכאן נובע שיש העתקה הומומורפית $\operatorname {st} (x)$ , מ- $F$ אל $\mathbb {R}$ , כאשר הגרעין שלה הוא קבוצת האינפיניטסימלים, וכל x סופי מועתק למספר ממשי יחיד שההפרש ממנו הוא אינפיניטסימלי. במילים אחרות, כל מספר היפר־ממשי סופי קרוב מאוד למספר ממשי יחיד, והמספר הזה נקרא החלק הסטנדרטי של x, או בקיצור $st(x)$ . הפונקציה הזו היא הומומורפיזם ששומר על סדר, כלומר אם $x\leq y$ אז $\operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)$ , אבל ייתכן ש- $x<y$ אבל $\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y)$ אם ההפרש ביניהם אינפינטסימלי.

אם גם x וגם y סופיים: $\operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)$ $\operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)$
אם x הוא סופי ולא אינפיניטסימלי: $\operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)$
x הוא ממשי אם ורק אם $\operatorname {st} (x)=x$

הפונקציה $\operatorname {st}$ היא רציפה ביחס לטופולוגיית הסדר על המספרים ההיפר-ממשיים הסופיים; למעשה היא קבועה באופן מקומי, כלומר בכל סביבה קטנה מספיק של מספר היפר־ריאלי סופי, ערך הפונקציה לא משתנה.

שדות היפר-ממשיים

נניח ש- $X$ הוא מרחב רגולרי לחלוטין, ו- $\operatorname {C} (X)$ הוא האלגברה של פונקציות ממשיות רציפות על $X$ . אם $M$ הוא אידיאל מקסימלי ב- $\operatorname {C} (X)$ אז חוג המנה $\operatorname {C} (X)/M$ הוא שדה סדור $F$ המכיל את $\mathbb {R}$ .

אם $F$ מכיל ממש את $\mathbb {R}$ (כלומר לא שווה לו), אז קוראים ל- $M$ אידיאל היפר-ממשי ול- $F$ שדה היפר-ממשי. חשוב לשים לב שלא מניחים כאן שגודל הקבוצה של $F$ גדול מזה של $\mathbb {R}$ ; למעשה, הן יכולות להיות בעלות אותו העוצמה.

מקרה פרטי חשוב הוא כאשר הטופולוגיה על $X$ היא טופולוגיה דיסקרטית; במקרה כזה ניתן לזהות את $X$ עם קרדינל כלשהו $\kappa$ , ואת $\operatorname {C} (X)$ עם האלגברה הממשית $\mathbb {R} ^{\kappa }$ , קבוצת הפונקציות מ- $\kappa$ ל- $\mathbb {R}$ . השדות ההיפר-ממשיים שמתקבלים במקרה זה נקראים על-חזקות של $\mathbb {R}$ והם זהים לעל-חזקות שנבנים באמצעות על-פילטרים חופשיים בתורת המודלים.

ראו גם

מדיה וקבצים בנושא מספר היפר-ממשי בוויקישיתוף

עיינו גם בפורטל:
	פורטל מתמטיקה

שדה סגור ממשית
ציר המספרים
מספר סוריאליסטי - קבוצה רחבה הרבה יותר, שכוללת בתוכה גם את ההיפר-ממשיים וגם סוגים נוספים של מספרים לא-ממשיים.

קישורים חיצוניים

מספר היפר-ממשי, באתר MathWorld (באנגלית)

Crowell, Brief Calculus.
Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals.
Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals.

הערות שוליים

1 2 3 Weisstein, Eric W. "Hyperreal Number". mathworld.wolfram.com (באנגלית).
1 2 Robinson, Abraham (1979). Selected papers of Abraham Robinson. 2: Nonstandard analysis and philosophy (באנגלית). New Haven: Yale Univ. Press. p. 67. ISBN 978-0-300-02072-4.
↑ Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)
↑ Dauben, Joseph Warren (1995). Abraham Robinson: the creation of nonstandard analysis: a personal and mathematical odyssey. Princeton legacy library (באנגלית). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. p. 474. ISBN 978-0-691-03745-5.
↑ Ball, p. 31
↑ Fite, Isabelle (2023). "Total and Partial Differentials as Algebraically Manipulable Entities". Operator Theory - Recent Advances, New Perspectives and Applications. doi:10.5772/intechopen.107285. ISBN 978-1-83880-992-8.
↑ Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3. The classic introduction to nonstandard analysis.

[:0-1] 1 2 3 Weisstein, Eric W. "Hyperreal Number". mathworld.wolfram.com (באנגלית).

[:1-2] 1 2 Robinson, Abraham (1979). Selected papers of Abraham Robinson. 2: Nonstandard analysis and philosophy (באנגלית). New Haven: Yale Univ. Press. p. 67. ISBN 978-0-300-02072-4.

[3] Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)

[4] Dauben, Joseph Warren (1995). Abraham Robinson: the creation of nonstandard analysis: a personal and mathematical odyssey. Princeton legacy library (באנגלית). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. p. 474. ISBN 978-0-691-03745-5.

[5] Ball, p. 31

[6] Fite, Isabelle (2023). "Total and Partial Differentials as Algebraically Manipulable Entities". Operator Theory - Recent Advances, New Perspectives and Applications. doi:10.5772/intechopen.107285. ISBN 978-1-83880-992-8.

[robinson-7] Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3. The classic introduction to nonstandard analysis.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]