מספר סטירלינג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספרי סטירלינג הם מספרים דמויי המקדמים הבינומיים, המופיעים במגוון בעיות קומבינטוריות. המספרים נקראים על-שם ג'יימס סטירלינג, שחקר אותם במאה ה-18.

יש שתי משפחות של מספרי סטירלינג. מספרי סטירלינג מהסוג הראשון הם המספרים המתקבלים מן הזהות , כאשר . בדומה לזה, מספרי סטירלינג מהסוג השני הם המספרים המתקבלים מן הזהות . מהשוואת המונום העליון נובע ש-.

למספרים אלה יש משמעות קומבינטורית. הוא מספר התמורות על n אברים שיש להן k מחזורים. למשל, כי יש 8 תמורות שמבנה המחזורים שלהן הוא 3+1, ועוד 3 שהמבנה שלהן הוא 2+2. בדומה לזה, הוא מספר הדרכים לפרק קבוצה בת n עצמים ל-k תת-קבוצות לא ריקות. למשל, משום שיש שבע דרכים לפרק קבוצה בת 4 אברים לשני חלקים: ארבע שבהן יש בקבוצה אחת איבר יחיד ובשנייה שלושה, ועוד שלוש שבהן יש בכל חלק שני אברים.

סדרת המונומים מהווה בסיס סטנדרטי לחוג הפולינומים במשתנה אחד. גם הסדרה מהווים בסיס למרחב הזה, והמטריצות (s) ו-(S) הן מטריצות מעבר מהבסיס הראשון לשני ובחזרה, בהתאמה. לכן הן הפוכות זו לזו: , ומכאן הזהויות ו- לכל .