מערכת לא-טרנזיטיבית של משתנים מקריים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, קבוצה של n משתנים מקריים היא מערכת לא-טרנזיטיבית אם היא כוללת שרשרת של משתנים \ X_0,\dots,X_{n-1} כך ש-\ P(X_i > X_{i+1 \pmod{n}}) > 1/2 לכל i = 0,\ldots,n-1, בדומה לדירוג המצבים המעגלי במשחק אבן נייר ומספריים.

אומרים שמשתנה מקרי X עדיף על משתנה מקרי Y, אם הסיכוי לכך ש- X>Y הוא יותר מחצי. העובדה שקיימות מערכות לא-טרנזיטיביות של משתנים מקריים מדגימה שיחס העדיפות אינו טרנזיטיבי, בניגוד לתפיסה האינטואיטיבית המכתיבה שאם X עדיף על Y ו-Y עדיף על Z, אז יש לצפות גם לכך ש-X עדיף על Z.

את העדר הטרנזיטיביות אפשר לנסח גם כך: לכל אחד מן המשתנים X בשרשרת, יש משתנה Y ש- X עדיף ממנו, ויש משתנה Z העדיף על X. כלומר, לא קיים משתנה בעל עדיפות גבוהה ביותר או נמוכה ביותר.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קוביות אפרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

את המשתנים המקריים אפשר לממש באמצעות קוביות משחק שהסיכוי שלהן ליפול על כל פאה הוא שישית. מערכת הקוביות של אפרון (שגילה הסטטיסטיקאי ברדלי אפרון) מורכבת מארבע קוביות באופן הבא:

  • A: הערכים 4, 4, 4, 4, 0, 0
  • B: הערכים 3, 3, 3, 3, 3, 3
  • C: הערכים 2, 2, 2, 2, 6, 6
  • D: הערכים 5, 5, 5, 1, 1, 1

במערכת הזו A עדיף על B; B עדיף על C; C עדיף על D; ו- D עדיף על A - בכל מקרה, הסיכוי לערך גבוה יותר במשתנה העדיף הוא 2/3. לכן השרשרת A,B,C,D אינה טרנזיטיבית. הסיכוי ל- C>A הוא 5/9, ולכן גם השלשה A,B,C אינה טרנזיטיבית (הסיכוי ל- B>D ול- D>B הוא 1/2, כך שאף אחד משני משתנים אלה אינו עדיף על רעהו).

משתנים בעלי שני ערכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן \ \phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618, יחס הזהב, ו- \ \phi' = \phi - 1 \approx 0.618. נגדיר משתנים X,Y,Z כך ש-X מקבל את הערכים 3,0 בסיכויים \ \phi',1-\phi', בהתאמה; Z מקבל את הערכים 1,4 באותם סיכויים, ואילו Y=2 קבוע. אז X עדיף על Y, העדיף על Z, וזה עדיף על X - כל העדיפויות בסיכוי \ \phi'>\frac{1}{2}.

עדיפות בתורת המשחקים[עריכת קוד מקור | עריכה]

את עקרון העדיפות אפשר להדגים באמצעות משחק לשני שחקנים. השחקן הראשון בוחר קובייה ממערכת קוביות נתונה, והשחקן השני בוחר אחריו; אז מטילים שני השחקנים את הקוביות שלהם, והשחקן שקיבל תוצאה גבוהה יותר מנצח. אם מערכת הקוביות היא שרשרת לא-טרנזיטיבית, אז השחקן השני יכול להבטיח ניצחון בהסתברות גדולה מ-1/2, למרות שלראשון יש, לכאורה, היתרון שבזכות הבחירה.