מרחב חסום לחלוטין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מרחב מטרי שניתן לכסות במספר סופי של כדורים בכל גודל נתון נקרא מרחב חסום לחלוטין, או מרחב חסום כליל. כל מרחב חסום לחלוטין הוא כמובן חסום. ההפך נכון למשל עבור תת-קבוצות של המרחב האוקלידי \ \mathbb{R}^n, אבל באופן כללי ישנם מרחבים חסומים שאינם חסומים לחלוטין, למשל עבור \mathbb{R} הדיסקרטי אשר מרחק כל שתי נקודות בו הוא 1. מרחב זה הוא בוודאי חסום, מפני שמרחק כל נקודה מהאפס הוא 1. המרחב אינו חסום כליל, וזאת מפני שאם נבחר את רדיוס הכדורים בתור חצי, אז הדרך היחידה לכסות את המרחב היא לקחת את כל הנקודות במרחב, משום שכדור ברדיוס חצי סביב הנקודה, מכיל רק את הנקודה עצמה.

בצורה פורמלית, נגדיר \epsilon-רשת כקבוצה של נקודות כך שכל נקודה במרחב נמצאת במרחק קטן מ-\epsilon מאחת מנקודות הקבוצה. מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם לכל \epsilon קיימת במרחב \epsilon-רשת סופית. אפיון אחר: מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם ורק אם לכל סדרה במרחב יש תת-סדרה שהיא סדרת קושי.

כל מרחב מטרי קומפקטי הוא חסום לחלוטין, וגם שלם. גם להפך: מרחב שלם וחסום לחלוטין הוא תמיד קומפקטי.