מרחב מטריזבילי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מרחב טופולוגי הוא מטריזבילי אם הטופולוגיה שלו מושרית על ידי מטריקה. קיימים מספר תנאים שקיומם גורר את אפשרות הגדרת המטריקה על המרחב, המפורסם שביניהם הוא משפט המטריזציה של אוריסון, לפיו כל מרחב שמקיים את אקסיומת ההפרדה T3 ואת אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבלי. בהוכחה ניתנת המטריקה אך למעשה בדרך כלל לא ניתן להציג אותה באופן מפורש, לכן עיקר היתרון במשפט הוא האפשרות להחיל את התכונות הטופולוגיות של המרחבים המטריים על מרחבים טופולוגיים מופשטים.

משפט המטריזציה של נגאטה-סמירנוב מרחיב את משפט המטריזציה של אוריסון. לפי משפט זה מרחב הוא מטריזבילי אם ורק אם הוא מקיים את אקסיומת ההפרדה T3 וכן קיים לו בסיס שמורכב מאיחוד בן מנייה של אוספי קבוצות שהם סופיים באופן מקומי (כלומר כל קבוצה פתוחה במרחב נחתכת עבור כל אוסף רק עם מספר סופי של קבוצות).

מרחב נקרא מטריזבילי באופן מקומי אם לכל נקודה קיימת סביבה פתוחה ומטריזבילית שמכילה אותה. סמירנוב הוכיח שמרחב האוסדורף שהוא מטריזבילי באופן מקומי הוא גם מטרזבילי אם ורק אם הוא פרקומפקטי. בפרט עבור יריעות שהן הומאומורפיות באופן מקומי למרחב האוקלידי ולכן מטריזביליות באופן מקומי, ניתן להגדיר עליהן מטריקה בדיוק כאשר הן פרקומפקטיות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]