מרחב קשיר מקומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
במרחב הטופולוגי בתמונה, V היא סביבה של p המכילה סביבה קשירה (דיסק ירוק כהה) המכילה את p.

בטופולוגיה, ובתחומים נוספים של מתמטיקה, מרחב קשיר מקומית הוא מרחב טופולוגי שבו כל סביבה של נקודה מכילה סביבה פתוחה וקשירה. תכונת הקשירות המקומית קרובה באופיה לתכונת הקשירות, אבל השתיים אינן גוררות זו את זו.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

קשירות וקומפקטיות הן שתי תכונות בסיסיות בטופולוגיה. חשיבותן של תכונות אלה הוכרה בתחילה עבור תת-קבוצות של המרחב האוקלידי, אלא שעד מהרה הוברר שהתכונות אינן תלויות במטריקה המוגדרת על המרחב, אלא במאפיינים הטופולוגיים שלו.

מרחב המסרק, המוגדר על ידי איחוד של ציר x עם קווים המקבילים לציר y במרחק \,1/n הינו קשיר מסילתית, אך אינו קשיר מקומית סביב הנקודה המסומנת

משפט היינה-בורל, ומשפטים חזקים נוספים, מאפשרים לתאר את הקבוצות הקומפקטיות במרחב האוקלידי. אפילו במקרה זה, המבנה של קבוצות קשירות מורכב יותר. לדוגמה, כל מרחב האוסדורף קומפקטי הוא קומפקטי מקומית, ועם זאת, מרחב קשיר אינו חייב להיות קשיר מקומית, אפילו אם מדובר על תת-מרחב של המרחב האוקלידי (ראו מרחב המסרק באיור משמאל).

הגדרות ותכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב טופולוגי X הוא קשיר מקומית בנקודה x, אם לכל קבוצה פתוחה V המכילה את x, קיימת תת-קבוצה קשירה ופתוחה U עבורה x \in U \subset V. מרחב שהוא קשיר מקומית בכל נקודה הוא מרחב קשיר מקומית[1].

אם לכל קבוצה פתוחה V המכילה את x קיימת קבוצה פתוחה וקשירה N \subset V כך ש-x נמצא בפנים של N, אומרים ש-X קשיר מקומית באופן חלש בx. [2]. המרחב קשיר מקומית בנקודה x אם יש לו בסיס מקומי של קבוצות פתוחות וקשירות, וקשיר מקומית באופן חלש, אם יש לו שם בסיס מקומי של סביבות קשירות (כל קבוצה פתוחה הכוללת את הנקודה היא סביבה שלה, אבל ההיפך אינו נכון). מכאן שאם המרחב קשיר מקומית בנקודה, הוא גם קשיר שם מקומית באופן חלש. ההיפך אינו נכון, ועם זאת, מרחב שהוא קשיר מקומית באופן חלש בכל נקודה שלו, הוא בהכרח קשיר מקומית בכל נקודה. [3]

כל מרחב קשיר מסילתית הוא קשיר, ולכן מרחב קשיר מסילתית מקומית הוא גם קשיר מקומית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

1. לכל מספר טבעי \, n, המרחב האוקלידי \mathbb{R}^n קשיר וקשיר מקומית.

2. המרחב  [0,1] \cup [2,3] קשיר מקומית, איך אינו קשיר.

3. המרחב \{ ( x, \sin{\frac{1}{x}} ) | x \in (0, \infty ) \} \cup \{0\} \times [0,1] (הידוע כ"עקומת הסינוס של הטופולוגים") קשיר, אך אינו קשיר מקומית ואינו קשיר מסילתית.[4]

4. מרחב המספרים הרציונליים \mathbb{Q}, עם הטופולוגיה המושרית מן הישר הממשי, אינו קשיר ואינו קשיר מקומית.

5. מרחב המסרק (ראו תמונה למעלה) קשיר וקשיר מסילתית אך אינו קשיר מקומית.

6. תהי \, X קבוצה אינסופית בת מנייה. תחת הטופולוגיה הקו-סופית מתקיים כי \, X קשירה מקומית אך לא קשירה מסילתית מקומית. [5]

תכונות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי ההגדרה, קשירות מקומית הנה תכונה מקומית. עם זאת, כל התכונות המתקיימות במרחב קשיר מתקיימות באופן מקומי במרחב קשיר מקומית, למשל:

1. מרחב הוא קשיר מקומית אם ורק אם קיים לו בסיס המכיל רק קבוצות קשירות.

2. איחוד זר של מרחבים הוא קשיר מקומית אם ורק אם כל אחד מהמאוחדים קשיר מקומית. בפרט, היות שמרחב הנקודה הנו קשיר מקומית, כל מרחב דיסקרטי הוא קשיר מקומית. מצד שני, מרחב דיסקרטי הנו בלתי קשיר לחלוטין ועל כן הוא קשיר אם ורק אם יש בו לכל היותר נקודה אחת.

3. מרחב בלתי קשיר לחלוטין הנו קשיר מקומית אם ורק אם הוא דיסקרטי. מכאן נובעת באופן מיידי הטענה בדוגמאות לפיה המספרים הרציונליים אינם מהווים מרחב קשיר מקומית.

רכיבי קשירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההגדרות המובאות בחלק זה מבוססות על התוצאה הבאה:

למה: תהי \{Y_\alpha \}_{\alpha \in I} משפחה של תת-קבוצות במרחב טופולוגי X, שהחיתוך של כולן אינו ריק. אם כל קבוצה \,Y_\alpha קשירה (קשירה מסילתית) אזי האיחוד \bigcup_{\alpha \in I} Y_\alpha קשיר (קשיר מסילתית)[6].

עתה נוכל לדון ביחס השקילות המוגדר כך ש-x \equiv y אם קיימת תת-קבוצה קשירה של X המכילה את x ואת y. ברור כי היחס הזה רפלקסיבי וסימטרי, והטרנזיטיביות שלו נובעת מהלמה. מחלקות השקילות של היחס נקראות רכיבי הקשירות של X. מחלקת השקילות המכילה את x נקראת רכיב הקשירות של x ונהוג לסמנה על ידי C_x.

מהלמה נובע כי רכיב הקשירות של x הינו תת-הקבוצה הקשירה המקסימלית המכילה את x. היות שהסגור של C_x הוא קבוצה קשירה, ניתן להסיק שכל רכיבי הקשירות סגורים ב-X.

אם למרחב X יש מספר סופי של רכיבי קשירות, אזי כל רכיב קשירות הוא המשלים של איחוד סופי של קבוצות סגורות ועל כן פתוח בעצמו. באופן כללי רכיבי קשירות אינם מוכרחים להיות פתוחים (לדוגמה ניתן לקחת את מרחב קנטור, שהוא מרחב בלתי קשיר לחלוטין אך אינו מרחב דיסקרטי). עם זאת, רכיבי הקשירות של מרחב קשיר מקומי הם פתוחים. מכאן מתקבל שמרחב קשיר מקומית X שווה לאיחוד רכיבי הקשירות שלו. מצד שני, אם לכל קבוצה סופית U של X מתקיים שרכיבי הקשירות של U פתוחים, אזי לX בסיס של קבוצות קשירות ולכן הינו קשיר מקומית [7].

דוגמה: הקבוצה  I \times I כאשר I = [0,1], ביחד עם טופולוגיית הסדר המושרית מיחס הסדר הלקסיקוגרפי הנה בעלת רכיב קשירות אחד (כי היא קשירה). עם זאת, כל קבוצה מהצורה a \times I מהווה רכיב קשירות מסילתית.

רכיבי קשירות של מרחב קשיר מקומית[עריכת קוד מקור | עריכה]

טענה: בהינתן X מרחב קשיר מקומית, כל רכיבי הקשירות שלו פתוחים.[8]
הוכחה: יהי X מרחב קשיר מקומית ויהי C רכיב קשירות. לכל x\in X יש קבוצה פתוחה קשירה U_x כך ש x\in U_x וגם C\subset U_x. לכן:
C=\bigcup_{x\in C}U_x
ומכאן C פתוחה כאיחוד פתוחות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Willard, Definition 27.4, p. 199
  2. ^ Willard, Definition 27.14, p. 201
  3. ^ Willard, Theorem 27.16, p. 201
  4. ^ Steen & Seebach, pp. 137–138
  5. ^ Steen & Seebach, pp. 49–50
  6. ^ Willard, Theorem 26.7a, p. 192
  7. ^ Willard, Theorem 27.9, p. 200
  8. ^ Willard, Corollary 27.10, p. 200