מרחב n-קשיר

בטופולוגיה, n-קשירות (n-connectedness) היא תכונה טופולוגי של מרחב טופולוגי או של הומומורפיזם טופולוגי, המכלילה קשירות מסילתית ופשיטות קשר. תכונה זו מוגדרת על ידי התאפסות $n$ חבורות ההומוטופיה הראשונות של המרחב, ובמקרה של הומומורפיזם - על ידי התאפסות חבורות ההומוטופיה של סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה.

מרחב קשיר מסילתית הוא מרחב 0-קשיר, בעוד שמרחב פשוט קשר הוא מרחב 1-קשיר. על כן, מונח זה מהווה הכללה למונחים המדוברים. שימוש נפוץ במיוחד ב-n-קשירות הוא במשפט הורוויץ, המייצר איזומורפיזם בין חבורות ההומוטופיה לחבורות ההומולוגיה מסוימות של מרחבים n-קשירים.

מרחב n-קשיר

מרחב טופולוגי $X$ נקרא n-קשיר (עבור $n\geq 1$), אם הוא לא ריק, קשיר מסילתית וכל חבורות ההומוטופיה שלו עד $n$ מתאפסות:

$\forall 1\leq i\leq n:\pi _{i}(X)=0$

יש לשים לב כי במקרה הכללי של חבורות ההומוטופיה עבור $n\geq 2$, יש משמעות לבחירת נקודת הבסיס. עם זאת, למרחב פשוט קשר (עבורו $\pi _{1}(X)=0$) בחירת נקודת הבסיס אינה משנה - שתי חבורות עם נקודות בסיסי שונות שוות (ולא רק איזומורפיות). על כן, להגדרה לעיל אכן יש משמעות.

היות שהקבוצה $\pi _{0}(X)$ נמצאת בהתאמה לרכיב הקשירות המסילתית של המרחב, הדרישה שהמרחב יהיה קשיר מסילתית שקולה לכך ש-$\pi _{0}(X)$ טריוויאלי. על כן, מרחב לא ריק $X$ הוא n-קשיר אם ורק אם $\pi _{i}(X)=0$ לכל $0\leq i\leq n$.

העתקה n-קשירה

העתקה רציפה בין מרחבים טופולוגיים $f:X\to Y$ נקראת n-קשירה, אם סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה $Ff$ הוא מרחב טופולוגי (n-1)-קשיר. באופן שקול, הפונקציה היא n-קשירה אם ורק אם הפונקציה המושרית $f_{*}:\pi _{i}(X)\to \pi _{i}(Y)$ מהווה איזומורפיזם עבור $i<n$, ומהווה העתקה על עבור $i=n$.

השקילות בין ההגדרות נובעת מסדרה מדויקת הקושרת בין חבורות ההומוטופיה של סיב ההומטופיה ושל המרחבים:

$\dots \to \pi _{i}(X){\overset {\pi _{i}(f)}{\to }}\pi _{i}(Y)\to \pi _{i-1}(Ff)\to \dots$

ראו גם

• סיב ההומוטופיה