מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בגאומטריה אלגברית , משטח ורונזה הוא יריעה אלגברית דו-ממדית במרחב הפרוייטיבי ה-5-ממדי
P
5
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{5}}
P
2
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{2}}
P
5
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{5}}
ג'וזפה ורונזה (1854-1917). את משטח ורונזה אפשר לשכן גם ב-
P
4
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{4}}
נקודה גנרית של
P
5
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{5}}
P
4
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{4}}
P
3
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{3}}
משטח שטיינר .
משטח ורונזה הוא תמונת ההעתקה
s
:
P
2
→
P
5
{\displaystyle \ s:\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}
העתקת ורונזה
s
(
x
:
y
:
z
)
=
(
x
2
:
y
2
:
z
2
:
y
z
:
x
z
:
x
y
)
{\displaystyle \ s(x:y:z)=(x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy)}
(
x
:
y
:
z
)
{\displaystyle \ (x:y:z)}
{
(
x
0
:
x
1
:
x
2
:
x
3
:
x
4
:
x
5
)
:
x
0
x
1
=
x
5
2
,
x
2
x
5
=
x
3
x
4
,
x
4
x
5
=
x
0
x
3
}
{\displaystyle \ \{(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}:x_{5})\,:\,x_{0}x_{1}=x_{5}^{2},\,x_{2}x_{5}=x_{3}x_{4},\,x_{4}x_{5}=x_{0}x_{3}\}}
לכל n ו- d, אפשר להגדיר שיכון
P
n
→
P
m
{\displaystyle \ \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}
m
+
1
=
(
n
+
d
d
)
{\displaystyle \ m+1={n+d \choose d}}
מקדם הבינומי הסופר את המונומים מדרגה d ב- n משתנים, וההעתקה מוגדרת על ידי:
ϕ
(
x
0
:
x
1
:
⋯
:
x
n
)
=
(
M
0
(
x
0
,
…
,
x
n
)
,
M
1
(
x
0
,
…
,
x
n
)
,
…
,
M
m
(
x
0
,
…
,
x
n
)
)
{\displaystyle \phi (x_{0}:x_{1}:\dots :x_{n})=(M_{0}(x_{0},\dots ,x_{n}),M_{1}(x_{0},\dots ,x_{n}),\dots ,M_{m}(x_{0},\dots ,x_{n}))}
M
i
{\displaystyle \,M_{i}}
d ב-n משתנים.
תמונת השיכון
ϕ
{\displaystyle \,\phi }
יריעת ורונזה . אפשר להוכיח שהיא קבוצה סגורה אי-פריקה, ולכן יריעה פרויקטיבית (משטח ורונזה הוא היריעה המתקבלת עבור d=2 ו-n=2).
בניסוח אחר, שאינו תלוי בקואורדינטות, מדובר בהעתקת החזקה הסימטרית,
ν
d
:
P
V
→
P
(
S
y
m
d
V
)
{\displaystyle \ \nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}
מרחב וקטורי מממד n.
ניתן להראות כי כל יריעה פרויקטיבית היא חיתוך של יריעת ורונזה ויריעה ליניארית.
