משפט ארצלה-אסקולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה פונקציונלית, משפט ארצלה-אסקולי (נקרא גם משפט אסקולי) מעניק איפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת -אינסוף": .

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה A של היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארזלה אסקולי: תהי קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-A קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם A רציפה במידה אחידה.
מסקנה: אם סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז A קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
הוכחה: ממשפט ארזלה-אסקולי נובע כי אם A חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-A סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך A. מכאן ש-A מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
מסקנה: אופרטור האינטגרל המוגדר , כאשר גרעין רציף על , הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

כיוון ראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי קבוצה חסומה ונניח שאיברי רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב- יש תת-סדרה מתכנסת. תהי סדרת פונקציות ב-. תהי סדרה צפופה ב- (קיימת כזאת כי מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה . זוהי סדרה חסומה ב- בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב- ואת גבולה ב-. כעת נתבונן בסדרה . גם זו סדרה חסומה ב- לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב- ואת גבולה ב-. וכך בתהליך איטרטיבי לכל נגדיר את הסדרה להיות תת-סדרה מתכנסת של ואת גבולה נסמן ב-.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון המוגדרת לכל כך (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה--י שלה הוא האיבר ה--י בסדרה ה--ית).

  1. זוהי תת-סדרה של .
  2. לכל הסדרה מתכנסת ל- שכן הזנב שלה, , הוא תת-סדרה של .

יהי . אברי רציפים במידה אחידה לכן קיים כך שלכל ולכל , אם אזי (כאשר היא פונקציית המטריקה ב-). אבל קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר שנסמנם ב .

לכל קיים כך ש- (כי צפופה ב-). כמו כן הסדרה מתכנסת ל- לכן לפי תנאי קושי קיים כך שלכל מתקיים . נסמן . כעת, לכל ולכל קיים כך ש- ומתקיים . לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה מתכנסת במידה שווה.