משפט בלוך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
סכימה של גל בלוך במימד אחד (רק החלק הממשי של הגל)
גל בלוך שווה פוטנציאל בשריג סיליקון

משפט בלוך בפיזיקת המצב המוצק מאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי, דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות פונקציות בלוך.

המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928 [1].

למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות.

ניסוח מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפט מספר ניסוחים שקולים.

ניסוח 1[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתון המילטוניאן מן הצורה:

 \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(\vec r)

כאשר  V(\vec r) פוטנציאל מחזורי עם מחזוריות של סריג כלשהו, כלומר עבור כל וקטור  \vec r בסריג ועבור הזזה סריגית  \vec R , מתקיים:  V(\vec r+\vec R) = V(\vec r) .
אזי, הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן ניתנות לרישום כ:

 \psi_{n\vec k} (\vec r) = e^{i\vec k \cdot \vec r} u_{n\vec k} (\vec r)

כאשר גם ל- u_{n\vec k} יש את אותה המחזוריות של הסריג:  u_{n\vec k} (\vec r+\vec R) = u_{n\vec k} (\vec r) לכל  \vec r בסריג ולכל הזזה סריגית  \vec R .

ניסוח 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור  \vec k , כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:

 \psi(\vec r+\vec R) = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi (\vec r)

לכל הזזה סריגית  \vec R .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כיוון שהפוטנציאל אינווריאנטי להזזה בוקטור סריג, ההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בוקטור סריג, המוגדרים על ידי:  T_{\vec R} f(\vec r) = f(\vec r + \vec R) . כמו כן אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה. כלומר, ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:

 T_{\vec R} \psi (\vec r) = C(\vec R) \psi (\vec r)

כיוון שהזזה ב- \vec R_2 ואחריה הזזה ב- \vec R_1 שקולה להזזה ב- \vec R_1 + \vec R_2 , מתקיים:

C(\vec R_1 + \vec R_2) \psi (\vec r) = T_{\vec R_1 + \vec R_2} \psi (\vec r) = T_{\vec R_1} T_{\vec R_2} \psi (\vec r) = C(\vec R_1) C(\vec R_2) \psi (\vec r)

ומכאן ש:  C(\vec R_1 + \vec R_2) = C(\vec R_1) C(\vec R_2) . הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט, ולכן:  C(\vec R) = e^{i\vec k \cdot \vec R} . לסיום:

 \psi (\vec r+\vec R)=T_{\vec R} \psi(\vec r) = C(\vec R)\psi(\vec r) = e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r)

וזה הניסוח השני של המשפט.

בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
  • Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר