משפט בנך-שטיינהאוס, הידוע גם בשם עקרון החסימות במידה שווה, הוא משפט מתמטי יסודי וחשוב באנליזה פונקציונלית. עקרון זה טוען עבור משפחה של העתקות ליניאריותרציפות על מרחב בנך, שאם יש חסם משותף לכל האופרטורים במשפחה בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.
לכל מספר טבעי , נגדיר . לפי ההנחה, קיים חסם משותף בכל נקודה, ולכן . הקבוצות הן קבוצות סגורות, משום שהקבוצות סגורות לכל בגלל הרציפות של , ולכן החיתוך גם הוא סגור.
בתור מרחב מטרי שלם, הוא מרחב בייר ("מרחב מקטגוריה שנייה"), ולכן אחת מהקבוצות מכילה כדור פתוח: יש ו- כך שאם אזי . נותר לתרגם את העובדה הזו לחסם המבוקש.
תהי נקודה כך ש-, אז לפי אי-שוויון המשולש, וזאת לכל . מכאן נובע שלכל מנורמה , מתקיים , כלומר . זהו חסם אחיד על הנורמות של ההעתקות הליניאריות במשפחה .
הערה. הוכחה זו מספיקה גם אם מחלישים את ההנחה המקורית, ומניחים רק שקבוצת הנקודות שעבורן חסומה, היא קבוצה מקטגוריה שנייה.