משפט בנך-שטיינהאוס

משפט בנך-שטיינהאוס, הידוע גם בשם עקרון החסימות במידה שווה, הוא משפט מתמטי יסודי וחשוב באנליזה פונקציונלית. עקרון זה טוען עבור משפחה של העתקות לינאריות רציפות על מרחב בנך, שאם יש חסם משותף לכל האופרטורים במשפחה בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.

משפט זה, יחד עם משפט האן-בנך ומשפט ההעתקה הפתוחה, נחשב לאחד משלוש אבני היסוד של האנליזה הפונקציונלית. גרסה מוקדמת של המשפט הופיעה במאמר של סטפן בנך והוגו שטיינהאוס ב-1927. המשפט הוכח באותו זמן גם על ידי האנס האן.

המשפט

יהי $\,X$ מרחב בנך ויהי $\,Y$ מרחב נורמי כלשהו. תהי $\, \mathcal{F}$ משפחה של העתקות לינאריות רציפות $\, T_{\alpha} : X \rightarrow Y$.

אם לכל $\ x\in X$ הקבוצה $\ \left\{T_\alpha (x) : T_\alpha \in \mathcal{F} \,\right\}$ חסומה, אז גם קבוצת הנורמות $\ \left\{\, ||T_\alpha|| : T_\alpha \in \mathcal{F} \right\}$ חסומה.

הוכחה

למשפט חשוב זה יש הוכחה קצרה המסתמכת על משפט הקטגוריה של בייר (Baire).

לכל מספר טבעי $\, n$, נגדיר $\ X_n = \left\{ x \in X \ : \ \| T_\alpha(x) \| \le n ,\quad \forall T_\alpha \in \mathcal{F} \right\}$. לפי ההנחה, קיים חסם משותף בכל נקודה, ולכן $\ \bigcup_{n}{X_n} = X$. הקבוצות $\, X_n$ הן קבוצות סגורות, משום שהקבוצות $\ Z_n^\alpha = \left\{ x \in X \ : \ \| T_\alpha(x) \| \le n \right\}$ סגורות לכל $\,\alpha$ בגלל הרציפות של $\,T_\alpha$, ולכן החיתוך $X_n = \bigcap_{\alpha}{Z_n^\alpha}$ גם הוא סגור.

בתור מרחב מטרי שלם, $\ X$ הוא מרחב בייר ("מרחב מקטגוריה שנייה"), ולכן אחת מהקבוצות $\ X_n$ מכילה כדור פתוח: יש $\, 0<\delta$ ו-$\ x_0\in X_n$ כך שאם $\ \|x-x_0\|<\delta$ אזי $\ x\in X_n$. נותר לתרגם את העובדה הזו לחסם המבוקש.

תהי $\ z\in X$ נקודה כך ש-$\|z\|\le\delta/2$, אז לפי אי-שוויון המשולש $\|T(z)\|=\|T(x_0+z)-T(x_0)\|\le \|T(x_0+z)\|+\|T(x_0)\| \le 2n$, וזאת לכל $\ T\in \mathcal{F}$. מכאן נובע שלכל $\ y\in X$ מנורמה 1, מתקיים $\|T(y)\|=\frac{2}{\delta}\|T(\frac{1}{2}\delta y)\|\le \frac{2}{\delta}\cdot 2n$, כלומר $\ \|T \| \leq 4n / \delta$. זהו חסם אחיד על הנורמות של ההעתקות הלינאריות במשפחה $\ \mathcal{F}$.

הערה. הוכחה זו מספיקה גם אם מחלישים את ההנחה המקורית, ומניחים רק שקבוצת הנקודות $\ x\in X$ שעבורן $\ \left\{T_\alpha (x) : T_\alpha \in \mathcal{F} \,\right\}$ חסומה, היא קבוצה מקטגוריה שנייה.