משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי אלברת בנך ונסמן ב את אוסף האיברים ההפיכים על . נסמן ב e את איבר היחידה ב . יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על . בבירור צריך להתקיים ש וכן ש לכל x ב . לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על המקיים הוא בהכרח רציף וכפלי.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

עובדה: יהי כך ש אז הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת אז .

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש וכן . יהי r>0. נקבל מהאי שיווין הקודם שלכל , . נגדיר את הפונקציה הבאה:

. אזי h אנליטית במעגל ברדיוס . כמו כן אם אז נקבל ש. כעת מעקרון המקסימום, לכל . נשאיף ונקבל שבהכרח g=0.

הוכחת המשפט:

יהי . יהו ההנחה ש גוררת שאפשר לרשום כאשר . ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש .נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר . נקבל ש . נציב x+y במקום x ונקבל ש . לכן . נתבונן בזהות הבאה: .

נניח ש . מהטענה הקודמת ומההנחה ש נקבל שצד ימין וכן ב N. לכן ב N וכיוון ש נקבל ש ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, . לכן לכל לכן נסיק ש רציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש . נקבע . ללא הגבלת הכלליות, . נגדיר . כיוון ש נקבל ש f שלמה ומקיימת בבירור . נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה מתכנסת בנורמה ומרציפות נקבל ש הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: (אותה הוכחה). בפרט . לכן

לכל , הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש ובפרט וקיבלנו את הדרוש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]