משפט גלפונד-שניידר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, משפט גלפונד-שניידר הוא משפט הקובע תחת אילו תנאים העלאת מספר אלגברי בחזקת מספר אלגברי נותנת מספר טרנסצנדנטי. המשפט עונה בחיוב על הבעיה השביעית של הילברט. המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר גלפונד בשנת 1934 ובאופן בלתי תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני תאודור שניידר בשנת 1935.

המשפט קובע כי אם מספרים אלגבריים כך ש-, ו- אי-רציונלי, אז טרנסצנדנטי.

תנאי המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • המשפט לא מוגבל למספרים ממשיים ותקף גם למספרים מרוכבים. במספרים מרוכבים חזקה היא פונקציה רב-ערכית וייתכן יותר מערך אחד ל-. המשפט תקף לכל ערך נבחר.
  • המשפט קובע תנאים מספיקים לכך שאלגברי בחזקת אלגברי יהיה טרנסצנדנטי. עוד קודם לכן היה ידוע כי אלו גם תנאים הכרחיים:
    • אם או אז ו- בהתאמה, ולכן התוצאה אלגברית.
    • אם רציונלי אז מכיוון ששדה המספרים האלגבריים סגור אלגברית, גם אלגברי.
  • ההגבלה ש- יהיה אלגברי נחוצה גם היא. אם נדרוש רק ש- יהיה אי-רציונלי, קל למצוא דוגמה נגדית למשפט: .

השלכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט גלפונד-שניידר משמש להוכחת הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה של מספרים. דוגמאות מפורסמות כוללות את:

  • קבוע גלפונד-שניידר, והשורש שלו, .
  • קבוע גלפונד, (לפי זהות אוילר).
  • (לפי זהות אוילר).
  • לפי המשפט אם אלגבריים אז טרנסצנדנטי או רציונלי (אחרת דוגמה נגדית למשפט). למשל אינו רציונלי (נובע מכך ש-2 ו-3 ראשוניים), ולכן טרנסצנדנטי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]