משפט דה ברנז'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט דה ברנז', שנקרא תחילה השערת ביברבך (Bieberbach conjecture) או השערת המקדמים, הוא השערה בתורת הפונקציות המרוכבות, שהועלתה בשנת 1916 על ידי לודוויג ביברבך, והוכחה ב-1985 על ידי לואי דה ברנז' (de Brange, Louis "A proof of the Bieberbach conjecture", Acta Math. 154(1985), 137-152). לאחר פרסום ההוכחה נמצאו להשערה הוכחות קצרות יותר.

ההשערה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי f פונקציה יוני-ולנטית על עיגול היחידה, כלומר פונקציה הולומורפית המוגדרת על עיגול היחידה \ \{z: |z|<1\} וחד-חד-ערכית שם. אז המקדמים \ a_n בפיתוח טיילור \ f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_nz^n+... של הפונקציה מקיימים \vert a_n \vert \leq n\vert a_1\vert.

תוצאות חלקיות לאורך ההיסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ב-1916 הוכיח ביברבך את הטענה עבור n=2, והעיר שהיא "אולי" נכונה לכל n. צ'ארלס לוונר (Lowener) הוכיח את הטענה ל- n=3 ב- 1923. השיטות של לוונר עמדו בבסיסן של ההוכחות לכמה מקרים נוספים: n=4 ‏ (Garabedian ו-Schiffer ב-1955); n=6 ‏ (Ozawa ב-1969 ו-Pederson ב-1968); ו- n=5 ‏ (Pederson ו-Schiffer ב-1972). D. Horowltz הוכיח בשנת 1979 כי מתקיים \forall n : |a_n| \le 1.0657n.

דה-בראנז', שהמשיך את רעיונותיו של לוונר, הוכיח כאמור את הטענה לכל n. התוצאה נחשבת לאחת התוצאות החשובות ביותר באנליזה מרוכבת במאה ה-20.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.