משפט דה מואבר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט דה-מואבר, שקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים

כאשר מייצג את הרכיב הממשי במספר מרוכב , ו- את הרכיב המדומה במספר זה.

כלומר, חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה; ובאופן פרקטי מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה (או למצוא שורש שלהם, באופן דומה).

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח, באינדוקציה, מן הזהות , השקולה לזהויות הטריגונומטריות ו-.

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים ו- כפולינומים ב- ו-, בהתאמה. כך למשל, - ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי .

הוצאת שורש מרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם z הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה , כאשר ו- .

המספר (עם ), הוא שורש מסדר n של z אם , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, . זה קורה בדיוק כאשר :

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור :

כאשר , ואלו בדיוק n השורשים של z.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]