משפט דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה. הוכיח את המשפט בשנת 1837.
סטטיסטיקה המדגימה את משפט דיריכלה כאשר . בתמונה פרוסים כל המספרים הראשוניים עד 1800 על פי השארית שלהם מודולו 60. כל עמודה מייצגת סדרה חשבונית. בעמודות שמספרם זר ל-60, הראשוניים מפולגים באופן שנראה הומוגני אם כי מדלל ככול שעולים בערך המספר. בעמודות 2 ו- 3 יש ראשוני אחד. ביתר העמודות אין ראשוניים כלל.

משפט דיריכלה הוא משפט מתמטי, הקובע כי יש אינסוף מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית שבסיסה זר להפרשה. גרסאות חזקות יותר של המשפט קובעות את הצפיפות היחסית של המספרים הראשוניים בסדרות חשבוניות. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה בשנת 1837.

עוד מימי אוקלידס ידוע שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחות דומות לזו של אוקלידס מאפשרות להראות גם שקיימים אינסוף ראשוניים מן הצורות , , או , וידועות גם תוצאות כלליות יותר. דיריכלה היה הראשון שהראה שבכל סדרה חשבונית שבה הדבר אפשרי (היינו, סדרה מהצורה שבה ו- זרים), קיימים אינסוף ראשוניים.

דיריכלה הוכיח שלקבוצת המספרים הראשוניים השקולים ל- מודולו יש צפיפות דיריכלה ביחס לקבוצת כל הראשוניים, והיא שווה ל-, כאשר היא פונקציית אוילר. ההוכחה מבוססת על התמרת פורייה דיסקרטית על חבורת אוילר המאפשרת לבטא את הצפיפות היחסית באמצעות סיכום משוקלל של לוגריתמים של פונקציות L של דיריכלה - וריאנטים על פונקציית זטא של רימן התלויים בקרקטר כיפליים מודולו .

ההוכחה של דיריכלה נחשבת פורצת דרך, שכן היא עירבה לראשונה שימוש מרובה באנליזה מתמטית לא טריוויאלית כדי להשיג תוצאה בתורת המספרים. הוכחת המשפט נחשבת להולדת תורת המספרים האנליטית, כמו כן ההוכחה השפיעה על התפתחות תורת המספרים האלגברית ותורת ההצגות.

ב-1896, בסמוך להוכחת משפט המספרים הראשוניים, הראה דה לה ואלה פוסן שהטענה נכונה גם אם מחליפים את צפיפות דיריכלה בצפיפות הטבעית.

גרסאות של המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מספר טבעי. הגרסה הבסיסית של משפט דיריכלה אומרת:

לכל a זר ל-m, יש אינסוף מספרים ראשוניים שהשארית שלהם בחלוקה ל-m היא a.

כל ההוכחות הידועות למשפט (התקפות באופן כללי) מוכיחות גם חסם כמותי לצפיפות הראשוניים במובן זה או אחר. הוכחתו המקורית של דיריכלה הוכיחה גם את המשפט הבא:

הטור מתבדר, כאשר הסכום הוא על מספרים ראשוניים.

המקרה הוכח על ידי אוילר עוד במאה ה-18. לכן גרסה זאת נובעת מהגרסה הבאה שגם אותה הוכיח דיריכלה:

צפיפות דיריכלה של קבוצת המספרים הראשוניים הסדרה החשבונית ביחס לקבוצת המספרים הראשוניים שווה ל כאשר היא פונקציית אוילר. זאת אומרת ש: .

הטורים המוזכרים מעלה מהווים מדד עקיף לצפיפות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. משפט המספרים הראשוניים מספק מדד ישיר ומדויק יותר לצפיפות קבוצת המספרים הראשוניים. מיד לאחר שמשפט המספרים הראשוניים הוכח, הצליח דה לה ואלה פוסן לשלב בין הוכחת משפט המספרים הראשוניים והוכחת משפט דיריכלה ולקבל את המשפט הבא:

המקרה הוא משפט המספרים הראשוניים, כך, שבהינתן משפט המספרים הראשוניים, ניסוח זה שקול לניסוח הבא:

הצפיפות הטבעית של קבוצת המספרים הראשוניים הסדרה החשבונית ביחס לקבוצת המספרים הראשוניים שווה ל . זאת אומרת ש: .

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העת העתיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העובדה שישנם אינסוף מספרים ראשוניים היתה ידועה עוד ביוון העתיקה. ההוכחה הראשונה הידועה שלה מופיעה בספר יסודות של אוקלידס עוד במאה השלישית לפני הספירה.

מספר עשורים לאחר מכן פיתח ארטוסתנס שיטה יעילה ליצור טבלאות ראשוניים, באמצעותה ניתן היה להבחין בתבניות הקשורות להתפלגות המספרים הראשוניים.

עבודותיו של אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

במאה ה-18, חקר לאונרד אוילר את התפלגותם של מספרים ראשוניים. הוא חקר את הפונקציה שלימים הורחבה על ידי רימן ונקראה פונקציית זטא של רימן. פונקציה זאת היא ארכיטיפוס של משפחה רחבה של פונקציות הנקראות פונקציות L. לפוקציות אלה (כמו גם לפונקציית זטא של רימן) היה תפקיד מכריע בהוכחה של דיריכלה.

אוילר פיתח את נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן, נוסחה זאת הפכה לימים כלי מרכזי בתורת המספרים האנליטית בכלל ובהוכחת משפט דיריכלה בפרט. באמצעות נוסחה זאת הוכיח אוילר (בשנת 1737) כי טור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר.

אוילר גם העלה את ההשערה (בשנת 1785) שמשפט דיריכלה תקף עבור סדרות חשבוניות מהסוג .

ההוכחות למשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים

כל ההוכחת הידועות למשפט דיריכלה הן אנליטיות, ומוכיחות טענה חזקה יותר מאיסופיות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. אולם עבור מקרים פרטיים של משפט דיריכלה יש הוכחות אלגבריות הדומות להוכחתו של אוקלידס לכך שיש אינסוף ראשוניים וכמעט שאינן מספקות מידע על צפיפות קבוצה זאת. רוב ההוכחות האלה מבוססות על הרעיון הבא: מוצאים פולינום כך שלכל טבעי, למספר יש גורם ראשוני בסדרה החשבונית. אז מציבים מכפלה של ראשוניים מהסדרה החשבונית לפולינום כדי לקבל מחלקים ראשוניים מהסדרה החשבונית שלא השתתפו במכפלה. נדגים שיטה זו במספר מקרים:

מספרים שאינם ריבוע מודולו [עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט
יהיו , אז יש אינסוף ראשוניים שאינם ריבוע מודולו - .
הוכחה
נבחר מספר זר ל-, שאינו ריבוע מודולו . נוכיח שיש מספר סופי של ראשוניים שאינם מחלקים את ושאינם ריבוע מודולו - . נניח בשלילה שיש מספר סופי של ראשוניים כאלה, נסמנם ב - . נסמן . ממשפט קיום ויחידות של הפירוק לגורמים ראשוניים נובע של- חייב להיות לפחות גורם ראשוני אחד שאינו ריבוע מודולו - . גורם זה חייב ליהיות שונה מ- ולא יכול לחלק את . זה מוביל לסתירה.

מספרים שהם מודולו [עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט
יהיה . אז יש אינסוף ראשוניים בסדרה החשבונית

הוכחת המשפט מתבססת על הלמה הבאה:

למה
לכל קיים פולינום עם מקדמים שלמים ומקדם חופשי שווה ל- כך שלכל טבעי, כל מחלק ראשוני של מקיים .

הפולינום הוא למעשה כאשר הוא הפולינום הציקלוטומי של . הוכחת הלמה מתבססת על כלים של תורת המספרים האלגברית, ההוכחה איננה פשוטה אך אלגברית לחלוטין. לצורך המחשה נביא כאן את ההוכחה כאשר ראשוני.

הוכחת הלמה ל-:
ניקח

ונקבע המקיים
ראשית נראה כי
אכן, אם
אז
ולכן . מכיוון ש זה סותר את ההנחה ש - ראשוני.

כעת נבחין ש

ולכן
יהיה הסדר של מודולו זאת אומרת המספר הטבעי הקטן ביותר המקיים
נקבל . קל לראת ש - . לכן . מצד שני, לפי המשפט הקטן של פרמה , זה מוכיח ש
כפי שרצינו.

כעת נוכיח את המשפט


הוכחה למשפט דיריכלה עבור :
נניח בשלילה שיש מספר סופי של ראשוניים בסדרה החשבונית . נסמנם ב - . נסמן כאשר הוא הפולינום מהלמה. יהיה מחלק ראשוני של . לפי הלמה ומאדך . סתירה

מסקנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטענות אלה נובע משפט דיריכלה ל- .

מכפלת אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מכפלת אוילר

נקודת המוצא של הוכחתו של דיריכלה (כמו גם של כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) היא נוסחת המכפלה של אוילר:

הנוסחה מבוססת על טורים הנדסיים ועל משפט קיום ויחידות של פירוק לגורמים ראשוניים. הנוסחה מאפשרת לקבל מידע על ההתפלגות של מספרים ראשוניים (מאגף ימין) באמצעות כלים של אנליזה (בהם מנתחים את אגף שמאל). אם זאת בצורתה זו הנוסחה לא נתונת מידע רב, שכן שני אגפיה מתבדרים. כדי להפוך אותה לשימושית יותר, מכניסים פרמטר ממשי ומחליפים את הנוסחה בנוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן:
באופן כללי, כדי לקבל מנוסחה זו את המידע הדרוש לנו, יש לנתחה כאשר שואף ל-. בדרך כלל כדי להבין את הטיעונים ברמה האינטואיטיבית אפשר להציב , אבל זה לא מספיק כדי לקבל הוכחה ריגורוזית.

ממכפלת אוילר ניתן לקבלי שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר. לשם כך לוקחים לוגריתם של שני הצדדים של הנוסחה ומשתמשים בקירוב טיילור מסדר ראשון של הלוגוריתם, ומקבלים:

כאשר:
מכאן קל להסיק שהטור
מתבדר.

באופן פשטני אפשר לומר כי הרעיון בהוכחתו של דיריכלה הוא להתאים טיעון זה לטור דומה עבור הראשוניים בסדרה חשבונית.

שימוש במספרים מרוכבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מספר מרוכב

אחד הרעיונות המהפכניים של רימן בתורת המספרים האנליטית היא להציב לפונקציית זטא ערכים מרוכבים של המשתנה (עם חלק ממשי גדול מ-1) ואז להמשיך את פונקציית זטא של רימן לפונקציה מרומורפית המוגדרת על המישור המרוכב כלו. זה הופך את פונקציית זטא לכלי עוצמתי לחקר ההתפלגות של המספרים הראשוניים. רעיון זה הוביל בין היתר להוכחת משפט המספרים הראשוניים. אולם רעיון זה הופיע כ-30 שנה לאחר הוכחת משפט דיריכלה ואינו מופיע בהוכחה המקורית של דיריכלה. חלק מההוכחות המאוחרות יותר משתמשות ברעיון זה, מה שמקצר את ההוכחה. המחיר של קיצור זה הוא שימש בכלים מתקדמים יחסית מאנליזה מרוכבת, שוהכחתם לא פשוטה.

הוכחתו של דיריכלה (כמו גם כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) משתמשת במספרים מרוכבים במקום אחר: פונקציות של דיריכלה, שהן גרסאות של פונקציית זטא של רימן הנחוצות בהוכחה, הן פונקציות עם ערכים מרוכבים גם כאשר המשתנה שלהן ממשי. שימוש זה לא דורש אנליזה מרוכבת אלא רק הבנה של מספרים מרוכבים, ולכן פשוט בהרבה. גם שימוש זה לא הכרחי, אפשר להחליף אתו בשימוש בפונקציות טריגונומטריות, אולם החלפה כזאת תסרבל את ההוכחה ותסתיר את הרעיונות שבה, כך שהיא לא מקובלת.

קרקטר דיריכלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכפלת אוילר נותנת מידע על התפלגות כל הראשוניים, בעוד שעבור משפט דיריכלה יש צורך במידע על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית. לא ניתן להתאים את מכפלת אוילר באופן ישיר כדי שהיא תערב רק מספרים בתת-קבוצה מסוימת, אולם לעיתים ניתן להתאים את מכפלת אוילר כדי שהיא תערב את כל המספרים עם משקלים מסוימים. עבור פונקציה חסומה אפשר להגדיר גרסה ממושקלת של פונקציית זטא של רימן באופן הבא:

טור כזה נקרא באופן כללי טור דיריכלה. בדרך כלל, לא יהיו לפונקציה זאת תכות טובות כמו לפונקציית זטא של רימן. אולם עבור בחירות מסוימות של יהיו לפונקציה זאת תכונות טובות לרבות מכפלת אוילר. מקרה אחד כזה הוא כאשר הפונקציה היא קרקטר דיריכלה.

הגדרה
קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) הוא פונקציה המקימת:
  1. לכל מתקיים:
  2. לכל זר ל- מתקיים:
  3. לכל מתקיים:

לטורי דיריכלה עם פונקציית משקל שהיא קרקטר דיריכלה קוראים פונקציות של דיריכלה. עבור פונקציות אלה מתקימת נוסחת המכפלה של אוילר:

כיוון שקרקטר דיריכלה הוא פונקציה מחזורית (תנאי 1) ניתן לראות בו פונקציה על החוג הסופי . כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא הפיכים בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על חבורת האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זאת נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-. מנקדת מבט זאת קרקטר דיריכלה הוא קרקטר כיפלי של החבורה . קרי הומומורפיזם מחבורה זאת לחבורה . אוסף כל קרקטרים של חבורה נקרא החבורה הדואלית של ומסומן ב-. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה מסומן ב-.

התמרת פורייה דיסקרטית כפלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – התמרת פורייה דיסקרטית, חבורת אוילר

אנו מעוניינים בראשוניים בסדרה החשבונית . באופן עקרוני ניתן לבודד ראשוניים אלה על ידי שימוש בפונקציית משקל שתהיה הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית. אולם פונקציה זאת איננה קרקטר, ולכן מכפלת אוילר לא תקפה עבורה. דיריכלה התמודד עם קושי זה בכך שהוא הציג את הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית בתור צירוף ליניארי של קרקטרים. באופן ספציפי, הוא הוכיח את הטענה הבאה:

טענה
נסמן ב - את הפונקציה המצינת של הסדרה החשבונית . אז מתקיים:

או, באופן מפורש יותר, לכל מתקיים:

טענה זאת היא מקרה פרטי של התמרת פוריה על חבורות אבליות סופיות:

משפט
לכל חבורה סופית ולכול פונקציה מתקיים:

כאשר:

למשפט זה יש הכללה לחבורת אבליות טופולוגיות קומפקטיות מקומית ואף לחבורת לא אבליות. ניתן להוכיח משפט על ידי ליכסון משותף של אופרטורים ממרחב הפונקציות לעצמו המתקבלים מהזזה באיברי . אך יש למשפט גם הוכחות אלמנטריות יותר. שלא משתמשות באלגברה ליניארית. למשל הוא נובע בקלות יחסית מהלמה הבאה:

למה
לכל חבורה אבלית סופית ולכל מתקיים:

עובדה זו (הנכונה בנוסח המוכלל לכל חבורה סופית) נובעת מ"יחס שור השני" על טבלת הקרקטרים. ניתן להסיק אותה גם מן הלמה הבאה

למה
לכל חבורה סופית ולכל קיים כך שמתקיים: .

למה זאת נובעת בקלות ממשפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית המראה ש-x שייך למחובר ישר ציקלי; אך ניתן גם להוכיח אותה ישירות על ידי הרחבה הדרגתית של קרקטר מתת-חבורה לכל החבורה. כמו כן, במקרה שרלוונטי למשפט דיריכלה ניתן גם להוכיח אותה באמצעות נתוח המבנה של החבורה המבוסס על משפט השאריות הסיני.

רדוקציה להתכנסות ואי-התאפסות של פונקציית של דיריכלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור פונקציה חסומה נסמן

משפט דיריכלה נובע מהטענה הבאה:
כאשר היא הפונקציה האופיינית שהוגדרה מעלה. מאידך
באופן דומה להסבר מעלה, מכאן, ניתן להסיק ש:
כאשר היא פונקציה חסומה בקרן .

אם הוא הקרקטר הטריוויאלי אז דומה מאוד לפונקציית זטא של רימן, ובפרט . לכן . כך שכדי להוכיח ש די להוכיח ש חסום בסביבת עבור לא טריוויאלי. במילים אחרות, די להוכיח ש:

הערה: לשוויונים מעלה יש משמעות ריגורזית רק כאשר . כמו כן, פונקציית הלוגריתם איננה מוגדרת ביחידות, כך שהטיעון שהוצג איננו ריגורוזי. ניתן לקבל טעון ריגורוזי בהתבסס על הלמה הפשוטה הבאה:

למה
תהיא פונקציה רציפה כך שקיימים המקימים

אז חסומה.

התכנסות של פונקציית של דיריכלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מבחן דיריכלה
אנימציה המדגימה איך לחסום את קצב ההתכנסות של טורים מהסוג של

נקבע קרקטר לא טריוויאלי בעל מחזור . ההתכנסות (בתנאי) של הטור

היא טענה פשוטה למדי. היא נובעת בקלות ממבחן דיריכלה להתכנסות טורים ומהלמה הפשוטה הבאה:

למה
עבור כל מיתקיים

למעשה קל להסיק מלמה זאת גם חסם יעיל על קצב ההתכנסות של הטור.

לפיכך, כדי להוכיח את המשפט דיריכלה, די להוכיח את המשפט הבא:

משפט
עבור כל קרקטר דיריכלה לא טריוויאלי מתקיים:

משפט זה לא פשוט כלל, ולמעשה מהווה את עיקר הקושי בהוכחת משפט דיריכלה, אולם, יש הבדל עקרוני משמעותי בינו לבין משפט דיריכלה: בעוד שגם עבור סידרה חשבונית נתונה, משפט דיריכלה אינו טריוויאלי כלל, משפט זה קל לבדיקה לכל קרקטר דיריכלה נתון: כדי להוכיח את המשפט לקרקטר נותון די לחשב את הסכום החלקי עד ל גדול מספיק כך שהערכה לשגיאה בחישוב הטור תהיה קטנה מערך הסכום החלקי. אומנם בהיעדר חסם מלרע לערך של פונקציית ב -1, אין דרך לדעת כמה זמן יערוך חישוב כזה, אך (בהנחה שהמשפט מתקיים; מה שאנו יודעים בדיעבד) החישוב בהכרח יוכיח אותו בזמן סופי עבור הקרקטר הנתון.

כיוון שיש מספר סופי של קרקטרי דיריכלה עם מנחה (conductor) נתון, טיעון זה מאפשר להוכיח את משפט דיריכלה עבור כל סידרה חשבונית נתונה באמצעות חישוב סופי. במחשב מודרני, קל לבצע את החישוב עד ערכי גדולים למדי (אלפים). גם באמצעות חישוב ידני אפשר להוכיח את המשפט לערכי שעבורם הוא לא היה ידוע בטרם דיריכלה פיתח שיטה זאת.


חישוב מפורש של
דיריכלה אף פיתח נוסחה ל - המציגה אותו כסכום סופי:

פיתוח הנוסחה מתבסס על פירוק של לצירוף ליניארי של קרקטרים אדיטביים באמצעות התמרת פוריה אדיטיבית. זאת אומרת פרוק של לצירוף ליניארי של פונקציות מחזוריות המקיימות . מקדמי פרוק זה הם סכומי גאוס סופיים. נותר לחשב את טורי דיריכלה . קל לפתח נוסחה סגורה לטורים אלה באמצעות פונקציות יוצרות.

אומנם הנוסחה מספקת דרך קלה ומהירה להוכיח את המשפט עבור מנחה נתון, אבל היא לא מקלה על הוכחת המשפט במקרה הכללי, וההוכחות המקובלות למשפט דיריכלה לא משתמשות בה. אם זאת הנוסחה שימושית מאוד בתורת המספרים, לדוגמה לצורך חישוב מספרי מחלקה.

מההתכנסות של יחד עם הנוסחה למעלה, קל להסיק שההתבדרות של גוררת את ההתבדרות של לכל זר ל- . במילים אחרות מקבלים רדוקציה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה למקרה בו . עם זאת רדוקציה זאת לא תקפה לגרסה הרגילה של משפט דיריכלה. כך שההוכחה האלגברית שהוסברה למעלה למשפט דיריכלה למקרה איננה מספיקה כדי לסיים את ההוכחה. אולם ניתן להתאים את ההוכחה הזאת לכדי הוכחה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה ובכך לסיים את ההוכחה. ראו פרוט למטה.

המקרה הלא ממשי[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיריכלה מצא טיעון פשוט ואלגנטי להוכיח ש כאשר לא כל ערכי ממשיים. לא כל ההוכחות למשפט דיריכלה משתמשות בטיעון זה. זאת כיוון שאת רוב ההוכחות לאי-התאפסות במקרה שערכי ממשיים ניתן להתאים גם למקרה הכללי. עם זאת, התאמות אלה בדרך כלל מכבידות על ההוכחה. לכן, הרבה מקורות מציגים את הטיעון של דיריכלה למקרה הלא ממשי בנפרד, ובכך מפשטים את שאר ההוכחה. כך גם נראתה ההוכחה המקורית של דיריכלה.

אפשר לראת בטיעון זה של דיריכלה כטעון דיכוטומיה: או ש לא מתאפס, או שהוא מתאפס באופן מובהק מספיק שיגרור מסקנות לא הגיונית על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית שיובילו לסתירה. באופן פורמלי יותר הטיעון של מבוסס על הלמה הבאה:

למה

יהיו שני קרקטרים עם אותו מנחה (condactor). אז לא ייתכן כי

הרעיון בהוכחת הלמה מבוסס על ניתוח צפיפות דיריכלה הראשוניים בסדרה החשבונית : כאמור מעלה צפיפית זאת נתונה על ידי הנוסחה

כאשר היא פונקציה חסומה בקרן . נסמן ב את הקרקטר הטריוויאלי. באופן לא ריגורוזי, אם מניחים בשלילה ש- ומציבים לנוסחה מקבלים:
מה שלא ייתכן כי . אמנם אין כל משמעות ריגורוזית לחיבור וחיסור של ערכים אינסופיים, אבל ניתן להפוך טיעון זה לריגורוזי:

הוכחה ריגורוזית של הלמה
אנימציה המדגימה איך לחסום ההפרש בין פונקציית זטא של רימן והאינטגרל

נכפיל את שני הצדדים של הנוסחה מעלה ב וניקח אקספוננט שלהם. נקבל

מכאן קל להסיק ש:
ולכן גם:
קל לראות (על ידי מבחן דיריכלה) ש מתכנס עבור לא טריוויאלי. לכן אם מניחים בשלילה ש:
אז מקבלים ש
כמו כן, על ידי השוואת פונקציית זטא של רימן לאינטגרל
קל להראות כי
לכן
בסתירה למה שקיבלנו קודם.

מלמה זאת קל להסיק אי-התאפסות של פונקציית לקרקטר לא ממשי:

הוכחה ש - עבור לא ממשי.
נניח בשלילה ש: . נקבל
זה סותר את הלמה הקודמת.

מטענה זאת ומהנוסחה למעלה קל להסיק את משפט דיריכלה (בגרסה הכמותית) עבור שאינו ריבוע מודולו אף מחלק גדול מ-2 של . כמו כן, בשיטה דומה, אפשר לקבל רדוקציה של משפט דיריכלה לטענה הבאה:

כאשר היא הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים שהם ריבוע מודולו .

מהלמה למעלה קל גם להסיק את הטענה הבאה:

קיים כך שמשפט דיריכלה נכון לכל שאינו מחלק את . כמו כן, על ידי חישוב של מספר סופי של פונקצוית L, ניתן לחסום מלרע את הערך של על ידי חסם גבוהה כירצונינו.

רדוקציה להתבדרות פונקציית זטא של דדקינד[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – פונקציית זטא של דדקינד

נקבע קרקטר דיריכלה ממשי . נגדיר

על ידי פתיחת סוגריים קל להראות כי זהו טור דיריכלה עם מקדמים חיוביים. למעשה (עד כדי מודיפיקציה קלה) זוהי פונקציית זטא של דדקינד עבור הרחבה ריבועית מסוימת של שדה המספרים הרציונליים.

השלב הבא ברוב ההוכחות של משפט דיריכלה הוא להראות שהתבדרות של טור זה ב - גוררת ש - . באופן אינטואיטיבי אפשר להסביר זאת בכך שאם אז

קל להפוך טיעון זה לריגורוזי, באופן דומה להוכחת הלמה למעלה

קל לראת ש:

מתכנס כש לכן התבדרות שקולה למעשה להתבדרות
השקולה להתבדרות
זאת בתורה שקולה להתבדרות הטור
ההתבדרות האחרונה היא למעשה מקרה פרטי של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה. ואכן למקרה זה יש הוכחות אלגבריות כמעט לחלוטין שלא עושות שימוש בכל הארגומנטים לעליל, כך שאפשר לראות בכל ההוכחה עד כאן בתור רדוקציה למקרה זה. אולם יש גם הוכחות אנליטיות למקרה זה אשר משתמשות בטיעונים לעליל וספציפית בפרוק
שאותו לא ניתן לראות סתם מחקר של קבוצת הראשוניים המקיימים .

המקרה של קרקטר לא ממשי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אומנם הראינו איך ניתן לטפל במקרה של קרקטר לא ממשי למעלה, אבל ניתן לטפל גם בו באמצעות פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. זאת היא הפונקציה

זאת למעשה פונקציית זטא של דדקינד עבור השדה הציקלוטומי (עד כדי מודיפיקציה קלה). גם במקרה זה קל להראות שהתבדרות פונקציה זאת ב גוררת עבור כל ושקול להתבדרות הטור
גם במקרה זה, ניתן להוכיח זאת הן בגישה אלגברית והן בגישה אנליטית, אך הוכחות אלה מסובכות יתר מההוכחות למקרה הממשי.

הוכחות אנליטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחות האנליתיות מתבססות על תופעת הדיכוטומיה הבאה: אם אז לא רק שטור הדיריכלה מתכנס ב אלא הוא גם מתכנס עבור כל חיובי. זה מוביל לסתירה מכיוון שקל לראות שהטור מתבדר.

באופן מפורט יותר, תחילה כותבים את הפונקציה כטור דיריכלה: ומוכיחים את הלמה הפשוטה הבאה:

למה
לכל טבעי מתקיים:

מכאן יש 2 גישות:

הוכחה המשתמשת באנליזה מרוכבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

תחילה מוכיחים (באמצעות מבחן דיריכלה) שהטור מתכנס (בתנאי) כאשר . לאחר מכן שמים לב כי עבור מתקיים:

מכאן מסיקים כי אם אז למכפלה יש המשכה אנליטית לחצי המישור . לכן מכיוון שמקדמי הטור הם חיוביים, הלמה של לנדאו גוררת שטור זה מתכנס כאשר . זה מוביל לסתירה כי:

הוכחה אלמנטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקטנה (3 תמונות)
אנימציה המדגימה איך לקבל קירוב אסימפטוטי של הטור

ההוכחה האלמנטרית מתבססת על שיערוך הטור

כאשר גדול. ראשית מקבלים חסם מלרע:


לאחר מכן משתמשים בפרוק

המבוסס על הפרוק
ובשיטת ההיפרבולה של דיריכלה כדי לקבל שיערוך אסימפטוטי של הסכום
לשם כך יש לקבל את השיערוכים האסימפטוטיים הבאים:
כאשר קבוע מתאים. כל אלה נותנים את השערוך
כך שאם זה מוביל לסתירה עם החסם מלרע.

המקרה הלא ממשי[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל למדי להתאים את ההוכחה שמשתמשת באנליזה מרוכבת לכל קרקטר . ההוכחה האלמנטרית נהיית מסורבלת בהרבה אם מנסים להתאימה לקרקטר כללי, כך שהדבר לא נעשה מכיוון שהוא מיותר.

הוכחות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה, נוסחת מספר המחלקה של דדקינד

כאמור, אין הוכחות אלגבריות לחלוטין למשפט דיריכלה. אולם ישנן הוכחות הדומות באופיין להוכחות האלגבריות למעלה להתבדרות , או באופן שקול לעובדה שיש הרבה ראשוניים המקיימים . היתרונות בהוכחות האלגבריות הוא שהן מפורשות יותר ונותנות נוסחה מפורשת לערך כאשר הוא קרקטר ממשי. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.

גישה אלמנטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרעיון הוא למצוא פולינום כך שחלק ניכר מהמחלקים הראשוניים של ערכיו (בנקודות שלמות) יקיימו . אולם הפעם לא די בכך, מכיוון שאנו צריכים שלפולינום יהיו די ערכים כדי לגרור את התבדרות הטור המתאים. לכן זה צריך להיות פולינום במספר משתנים, מכיוון שקבוצת הערכים של פולינום לא ליניארי ממשתנה אחד דלילה מידי.

מתברר שהפולינום המתאים הוא כאשר מספר שלם מסוים התלוי ב (עד כדי כפל בסימן וב-2 זה המנחה של ). הנקודה המרכזית בחלק זה של ההוכחה היא הלמה הבאה:

למה
לכל קרקטר ממשי קיים שלם כך שלכול שני שלמים כל מחלק של כך ש לא מחלק את מקיים .

למה זאת איננה פשוטה כלל, והוכחתה משתמשת בהדדיות ריבועית. עם זאת ניתן להוכיח אותה בצורה אלמנטרית ואלגברית לחלוטין.

כדי להשלים את ההוכחה, די להראות כי יש אחוז חיובי של מספרים מהצורה עד גודל מסוים. אינטואיטיבית הדבר די ברור. הרי אם הם בטווח אז מספר האפשרוית ל הוא כ- והם כולם קטנים (בערכם המוחלט) מ- . אולם מכיוון שהפולינום איננו פונקציה חח"ע זאת אינה הוכחה. כדי לקבל הוכחה יש לחסום את מספר הזוגות השונים שנותנים את אותו הערך בהצבה ל-. בפרט יש להבין את פתרונות המשוואה

כאשר חיובי זאת משימה קלה מאוד. כאשר שלילי, משוואה זאת נקראת משוואת פל וניתוחה מצריך עבודה מסוימת.

ניתן להביא טיעון זה לידי הוכחה ריגורוזית, אך הדבר קשה מבחינה טכנית. הוכחתו המקורית של דיריכלה הייתה לאורך קווים אלו. דדקינד פיתח שיטה אלגנטית ופשוטה להציג טיעון זה באמצעות כלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית.

גישה המשתמשת בתורת המספרים האלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן שדה מספרים (ז.א. הרחבה סופית של ), ניתן להגדיר את חוג השלמים בו להיות חוג כל איברי המהווים שלמים אלגבריים. פונקציית זטא של דדקינד של השדה מוגדרת כך:

כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים ב . דדקינד הוכיח כי (עד כדי מודיפיקציה קלה) פונקציה זאת שווה לפונקציה עם בוחרים את להיות הרחבה ריבועית מסוימת של המתאימה ל-. טענה זאת היא גרסה מתקדמת של הלמה למעלה, והוכחתה משתמשת בפריקות יחידה לאידיאלים בחוגי דדקינד ובהדדיות ריבועית.

כעת נותר להוכיח את ההתבדרות של בנקודה 1. לשם כך נשים לב ש:

כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים הראשיים ב (ז.א. אידיאלים הנוצרים על ידי איבר אחד). לכן די להוכיח ש:

קל לרארת ש:

כאשר הוא הערך המוחלט של נורמת גלואה של . כמו כן, קל לראות ש אם"ם כאשר מסמן את חבורת האיברים ההפיכים ב . מכאן מקבלים ש:
במקרה ש היא הרחבה ריבועית החוג איזומורפי כחבורה אבלית לסריג . הפונקציה היא (עכרך מוחלט של) פונקציה ריבועית על סריג זה. החבורה היא חבורה ציקלית חופשית המתוארת על ידי משוואת פל. לכן קל למדי להראות את התבדרות הטור ובכך לסיים את הוכחת המשפט.

ניתן גם לנתח באופן מדויק את האסימפטוטיקה של כאשר . לשם כך יש להעריך את היחס . במילים אחרות צריך להבין מהוא חלקם של האידיאלים הראשיים מתוך כלל האידיאלים. חלק זה נמדד באמצעות חבורת המחלקה שגודלה נקרא מספר המחלקה של . מכיוון שהאסימפטוטיקה של כאשר קשורה בקשר ישיר לערך , אנו מקבלים נוסחה הקושרת ערך זה למספר המחלקה. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. נוסחה זאת גוררת באופן מידי את אי-ההתאפסות

הערות:

  • הניסוח המקורי של דיריכלה לנוסחת מספר המחלקה לא משתמש במספר המחלקה של השדה , אלא במספר המחלקה של תבנית ריבועית מתאימה. זהו מושג שפיתח גאוס ומהווה גרסה מוקדמת למספר המחלקה של שדה מספרים.
  • נוסחת מספר המחלקה כוללת גם את המנחה של ומידע על חבורת האיברים ההפיכים .
  • אומנם דיריכלה השתמש בנוסחת המחלקה כדי לקבל מידע על הערך באמצעות מספר המחלקה, אבל רוב השימשים המודרניים לנוסחת המחלקה הם בכיוון ההפוך. זאת מכיוון שחישוב מספר המחלקה איננה משימה פשוטה, בעוד שחישוב של עבור קרקטר נתון היא משימה פשוטה למדי. למעשה די לשערך את ואין צורך לחשב אותו במדויק, מכיוון שמספר המחלקה תמיד שלם ולכן נוסחת מספר המחלקה כופה מגבלות על הערך . במקרה של דיריכלה המצב היה הפוך מכיוון שהוא התענין בתצאה כללית על אי-התאפסות, כך שלא די בשיטות חישוב לקרקטר נתון. מאידך אי התאפסות של מספר המחלקה מובנת מההגדרה.

המקרה הלא ממשי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להתאים את ההוכחות האלגבריות למקרה הלא ממשי. את מקומה של ההרחבה הריבועית , תתפוס ההרחבה הציקולטומית . פונקציית זטא של דדקינד של הרחבה זאת נותנת (לאחר מודיפיקציה קלה) את הפונקציה שהוגדרה מעלה, שהיא מכפלת כל פונקציות ה- של דיריכלה עם קרקטרים בעלי מנחה . טענה זאת נובעת מפריקות יחידה לאידיאלים ראשוניים בחוג דדקינד, בדומה לטענות למעלה. במובן מסוים טענה זאת פשוטה יותר מכיוון שאננה משתמשת בהדדיות ריבועית. דבר זה אינו מפתיע, מכיוון שאחת ההוכחות של ההדדיות הריבועית משתמשת בסכום גאוס המראה שניתן לשכן כל הרחבה ריבועית להרחבה ציקלוטומית. כך שאם מלכתחילה אנו עובדים עם הרחבה ציקלוטומית חלק זה נחסך מאיתנו.

כדי להשלים את הוכחה בגישה זאת, נותר להראות שפונקציית זטא של דדקינד של הרחבה ציקלוטומית מתבדרת ב . למעשה פונקציית זטא של דדקינד של כל שדה מספרים מתבדרת ב . ההוכחה של טענה זאת דומה להוכחה למקרה של הרחבה ריבועית, אך מסובכת יותר, מכיוון שבמקום ניתוח משוואת פל יש לנתח את חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים בשדה מספרים כללי. ניתוח זה מהווה את משפט היחידות של דיריכלה.

גם כאן ניתן לקבל מידע מדויק יותר לגבי האסימפטוטיקה של פונקציית זטא של דדקינד ב . ספציפית עבור כל שדה מספרים אפשר להביע את הגבול באמצעות מספר המחלקה של ואינווריאנטים נומריים נוספים של . קשר זה נקרא נוסחת המחלקה של דדקינד. בשונה מהמקרה הריבועי, הגבול איננו ערך של פונקציית מסוימת. אולם אם הרחבה ציקלוטומית אז גבול זה שווה (עד כדי מודיפיקציה קלה) למכפלה

באופן מפורש יותר אפשר לסכם את הגישה הזאת באמצעות הלמה הבאה:


למה
קיים פולינום במקדמים שלמים כך ש:
  • כל מחלק ראשוני ערך של הפולינום כך ש לא מחלק את מקיים .
  • מספר הערכים של בטווח הוא (אסימפטוטית) .

הפולינום הוא למעשה נורמת גלואה בחוג השלמים של הרחבה ציקלוטומית. זה פולינום מסובך למדי אך מפורש לחלוטין.

מלמה זאת קל להסיק את הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה עבור הסידרה החשבונית . כאמור גרסה זאת גוררת את משפט דיריכלה באופן כללי.

נשים לב כי הפולינום מההוכחה האלגברית האלמנטרית למעלה הוא צימצום של הפולימום כאן, לישר. כך שההוכחה כאן היא למעשה הרחבה של הארגומנט האלמנטרי עבור משפט דיריכלה לסידרה החשבונית כך שיתן גם חסם כמותי יעיל על צפיפות דיריכלה של הראשוניים על סידרה זאת.

הכללות והשפעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינציקלופדות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בלוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ספרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

וידיאו[עריכת קוד מקור | עריכה]