משפט הבסיס של הילברט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם חוג נתרי (שמאלי), אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל מקיים את אותה תכונה. בפרט, אם הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב- משתנים נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888.

בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים.

למשפט גרסה לא קומוטטיבית אותה הוכיח שמשון עמיצור: בחוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל תחום קומוטטיבי נותרי, כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים שהמנות ביחס אליהם משוכנות במטריצות מעל חוג קומוטטיבי (מסדרים חסומים - כלומר דרגות PI חסומות) מתייצבת.

למקרה של חוגי skewpolynomial ניתנו מספר הרחבות, בידי Singh ואחרים.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי חוג נתרי שמאלי. נניח בשלילה שהחוג אינו נתרי שמאלי. לכן קיים אידיאל שמאלי שאינו נוצר סופית. נבנה סדרה של פולינומים באופן רקורסיבי: תחילה נבחר פולינום ב- ממעלה מינימלית. יהי מספר טבעי, ונניח שנתונים האיברים . יהי האידיאל השמאלי הנוצר על ידי . נבחר את להיות איבר כלשהו של ממעלה מינימלית. איבר כזה קיים לפי ההנחה ש- לא נוצר סופית. מכאן שהסדרה היא סדרה לא יורדת של שלמים אי שליליים. יהי המקדם המוביל של ויהי האידיאל השמאלי של הנוצר על ידי . מכיוון ש- חוג נתרי, שרשרת האידיאלים

מתייצבת. לכן קיים טבעי שעבורו . בפרט קיימים איברים כך ש-

.

נגדיר את הפולינום

ל- ול- יש אותה מעלה ואותו מקדם מוביל. יתר על כן, . מצד שני, . לכן והמעלה שלו קטנה יותר מזו של , בסתירה למינימליות.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.