משפט הבסיס של הילברט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל R מקיים את אותה תכונה. בפרט, אם הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888.

בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים.

המשפט תקף לגבי חוג בסיס לאו דווקא קומוטטיבי, ואזי את תכונת הנותריות יש להחליף באחת מבין התכונות: נותריות שמאלית, ימנית או חלשה (תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דו-צדדיים). כל אחת מהן 'עולה' מ- ל-.

למשפט גרסה במשתנים לא-קומוטטיביים אותה הוכיח שמשון עמיצור: באלגברה החופשית במספר סופי של יוצרים מעל תחום קומוטטיבי נותרי, כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים שהמנות ביחס אליהם משוכנות במטריצות מעל חוג קומוטטיבי (מסדרים חסומים – כלומר דרגות PI חסומות) מתייצבת[1].

למקרה של חוגי פולינומים מעוותים (skew-polynomial rings) ניתנו מספר הרחבות, בידי Singh ואחרים.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי חוג נתרי שמאלי. נניח בשלילה שהחוג אינו נתרי שמאלי. לכן קיים אידיאל שמאלי שאינו נוצר סופית. נבנה סדרה של פולינומים באופן רקורסיבי: תחילה נבחר פולינום ב- ממעלה מינימלית. יהי מספר טבעי, ונניח שנתונים האיברים . יהי האידיאל השמאלי הנוצר על ידי . נבחר את להיות איבר כלשהו של ממעלה מינימלית. איבר כזה קיים לפי ההנחה ש- לא נוצר סופית. מכאן שהסדרה היא סדרה לא יורדת של שלמים אי שליליים. יהי המקדם המוביל של ויהי האידיאל השמאלי של הנוצר על ידי . מכיוון ש- חוג נתרי, שרשרת האידיאלים מתייצבת. לכן קיים טבעי שעבורו . בפרט קיימים איברים כך ש-.

נגדיר את הפולינום: . ל- ול- יש אותה מעלה ואותו מקדם מוביל. יתר על כן, . מצד שני, . לכן והמעלה שלו קטנה יותר מזו של , בסתירה למינימליות.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Lang, Serge (1997). Algebra, 3rd ed., reprint w/ corr., Addison-Wesley. מסת"ב 978-0-201-55540-0.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ A NONCOMMUTATIVE HILBERT BASIS THEOREMAND SUBRINGS OF MATRICES by Shimshon Avraham Amitsur (Transactions of the American Mathematical Society).
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.