משפט ההיטל המרכזי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (באנגלית המשפט נקרא לפעמים Fourier slice theorem) אומר ששני התהליכים הבאים, עבור פונקציה וישר דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:

  • לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של ולקחת את הערכים שלה על הישר .
  • להטיל את על הישר ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.

למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה.

ניסוח פורמלי של המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן ב את אופרטור ההיטל על תת מרחב ליניארי ממימד (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורטוגונלי בכל נקודה)

נסמן ב את אופרטור החיתוך עם אותו התת-מרחב שעובר דרך הראשית,

ונסמן ב את התמרת פורייה ב ממדים בהתאמה.

אז לכל פונקציה מתקיים:

הוכחה למקרה הדו ממדי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בגלל שסיבוב של פונקציה סביב הראשית זו פעולה שמתחלפת עם התמרת פוריה, ניתן להניח, בלי הגבלת הכלליות, שההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר .

נסמן את , ונסמן את ההיטל שלה על ציר להיות :

והתמרת פורייה שלה להיות:

אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר ה הוא:

שזה בדיוק התמרת פורייה של .