משפט ההיטל המרכזי

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (באנגלית המשפט נקרא לפעמים Fourier slice theorem) אומר ששני התהליכים הבאים, עבור פונקציה $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ וישר $a$ דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:

• לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של $f$ ולקחת את הערכים שלה על הישר $a$ .
• להטיל את $f$ על הישר $a$ ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.

למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה ובשיפור תמונות שמתקבלות במיקרוסקופ אלקטרונים חודר.

ניסוח פורמלי של המשפט

נסמן ב $P_{m}$ את אופרטור ההיטל על תת מרחב ליניארי ממימד $m$ (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורטוגונלי בכל נקודה)

נסמן ב $S_{m}$ את אופרטור החיתוך עם אותו התת-מרחב שעובר דרך הראשית,

ונסמן ב$F_{N},F_{m}$ את התמרת פורייה ב $N,m$ ממדים בהתאמה.

אז לכל פונקציה $f:R^{N}\rightarrow R$ מתקיים:

$F_{m}P_{m}=S_{m}F_{n}$

הוכחה למקרה הדו־ממדי

בגלל שסיבוב של פונקציה סביב הראשית זו פעולה שמתחלפת עם התמרת פוריה, ניתן להניח, בלי הגבלת הכלליות, שההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר $x$.

נסמן את $f(x,y):R^{2}\rightarrow R$, ונסמן את ההיטל שלה על ציר $x$ להיות :

$p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.$

והתמרת פורייה שלה להיות:

$F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.$

אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר ה$x$ הוא:

$s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx$

שזה בדיוק התמרת פורייה של $p(x)$.