קדם-מידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בתורת המידה, קדם-מידהאנגלית: Pre-measure) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה משפט ההרחבה, שהינו בעל שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי קבוצה, ותהי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל .

פונקציה נקראת קדם מידה, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:

  1. אם איחוד סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך , המקיים גם כי , אז

הסיבה לסימון היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל .

משפט ההרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן ב- את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות . לכל קדם-מידה , קיימת מידה המרחיבה את . כלומר, לכל מתקיים .

כמו כן, במצב בו היא סיגמא-סופית,[1] אז יחידה. במצב זה, כמובן גם היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של קרתאודורי על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

אי היחידות של ההרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב , ותהי האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה .

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על המקיימת לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה מידה ועוד מידה , כאשר הוא הגודל של הקבוצה , והוא בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה , שכן כל קטע במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן .

בניית מידת לבג[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מידת לבג

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי , כאשר יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר . כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה . ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על המרחיבה את . מידה זו מכונה "מידת בורל".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את .

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע היא האורך שלו, .

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ כלומר, ניתן להציג את כאיחוד בן-מניה של קבוצות מתוך , שקדם המידה של כל אחת מהן היא סופית.