משפט הערך הממוצע של גאוס

במתמטיקה, משפט הערך הממוצע של גאוס הוא שמם של שני משפטים דומים:

• משפט הערך הממוצע של גאוס באנליזה מרוכבת: הערך שפונקציה הולומורפית מקבלת בנקודה הוא ממוצע הערכים שהיא מקבלת במעגל סביב הנקודה.
• משפט הערך הממוצע של גאוס לפונקציות הרמוניות: הערך שפונקציה הרמונית מקבלת בנקודה הוא ממוצע הערכים שהיא מקבלת בספירה סביב הנקודה.

הדמיון בין המשפטים אינו מקרי. החלק הממשי והמרוכב של פונקציה הולומורפית הן פונקציות הרמוניות.

משפט הערך הממוצע של גאוס באנליזה מרוכבת משמש ככלי מרכזי להוכחת תכונות חשובות של פונקציות הולומורפיות, כגון משפט היחידות ומשפט השאריות. בנוסף, משפט הערך הממוצע של גאוס לפונקציות הרמוניות משמש בהוכחת תכונות חשובות של פונקציות הרמוניות כמו עקרון המקסימום ההרמוני. השימוש במשפטים אלו רחב גם בתחומים אחרים של המתמטיקה והפיזיקה, במיוחד בבעיות פוטנציאל ובתורת השדות.

פונקציות הולומורפיות

תהי $f$ פונקציה הולומורפית, ויהי $0\leq r$ כך שהעיגול ברדיוס $r$ סביב נקודה $z_{0}$ מוכל בתחום של $f$. אזי:

$f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{f(z_{0}+re^{i\theta })}\,d\theta$

הוכחה

יהי $C=\{z:|z-z_{0}|=r\}$. לפי נוסחת האינטגרל של קושי:

$f(z_{0})={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-z_{0}}\,dz$

$z_{0}+re^{i\theta },\theta \in [0,2\pi )$ היא פרמטריזציה של המעגל $C$. לכן:

$f(z_{0})={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }{{\frac {f(z_{0}+re^{i\theta })}{re^{i\theta }}}ire^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{f(z_{0}+re^{i\theta })}\,d\theta$

פונקציות הרמוניות

מהשוויון הנ"ל ניתן להסיק שוויון אנלוגי לפונקציות הרמוניות.

נניח ש-$u$ פונקציה הרמונית בתחום פשוט קשר פתוח. לפי משפט מאנליזה מרוכבת, היא מהווה חלק ממשי של פונקציה אנליטית $f$ על התחום. עבור $f$ מתקיים השוויון לעיל, ולכן אם נוציא חלק ממשי נקבל (בגלל שאינטגרל על פונקציה מרוכבת בגבולות ממשיים מוגדר להיות האינטגרל על החלק הממשי שלה ואנטגרל על החלק המדומה שלה כפול i) :

$u(z_{0})={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{u(z_{0}+re^{i\theta })}\,d\theta$

תכונה זו נקראת תכונת הערך הממוצע לפונקציות הרמוניות. לפי משפט, פונקציה היא הרמונית אם ורק אם היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע.

(כאשר $u(z)=u(Rez,Imz)$). להכללה של העקרונות הללו ראו גרעין פואסון.

ראו גם

• עקרון המקסימום
• גרעין פואסון

קישורים חיצוניים

• משפט הערך הממוצע של גאוס ב-Wolfram Mathworld