משפט הפונקציה ההפוכה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי קבוצה פתוחה ותהי גזירה ברציפות. תהי עבורה היעקוביאן בנקודה . קיימת קבוצה פתוחה המקיימת , וקיימת קבוצה כך ש חד חד ערכית ב .

כמו כן, היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של מקיימת: לכל

מקרה פרטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו : תהי גזירה ברציפות. תהי נקודה המקיימת

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת שלכל ,.

נניח כי אז מהיות רציפה, לכל , שהרי אחרת היה קיים , ממשפט ערך הביינים.

לכן מונוטונית עולה ממש בכל גורר ש חד חד ערכית בכל . מכאן ניתן להגדיר הגזירה בכל נקודה פנימית ב על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה: כי ובקטע זה הנגזרת של שונה מ-0.