משפט הפונקציה ההפוכה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי (גזירה ברציפות) כאשר פתוחה ותהי נקודה . נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים (כלומר הדיפרנציאל בה, , הפיך). אזי, קיימת קבוצה פתוחה כך ש- אף היא פתוחה, והפונקציה חד-חד-ערכית ועל. יתרה מכך, הפונקציה ההופכית אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות מתקבל על ידי

לכל , כאשר (צורות רישום נוספות: או ).[1][2]

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי הפונקציה המוגדרת על ידי . פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור של ערכי . עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם

ואזי היעקוביאן הוא . מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית.

ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת ולכל סביבה של נקודה קיים ענף (אנ') של פונקציית הלוגריתם המרוכבת המהווה פונקציה הפוכה באופן מקומי, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית (שהרי פונקציית האקספוננט המרוכבת אינה חד-חד-ערכית: לכל ).

מקרה פרטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו : תהי גזירה ברציפות. תהי נקודה המקיימת .

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת כך שלכל ,.

נניח כי אז מהיות רציפה, לכל , שהרי אחרת היה קיים עבורו ממשפט ערך הביניים.

לכן מונוטונית עולה ממש בכל , מה שגורר כי חד-חד-ערכית בכל . מכאן ניתן להגדיר הגזירה בכל נקודה פנימית ב- (נסמן ), שכן ניתן לחשב ולקבל כי

כלומר

(אכן ובקטע זה הנגזרת של שונה מ-).

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley Publishing Company, 1965, p. 34-39
  2. ^ James R. Munkres, Analysis on Manifolds, Addison-Wesley Publishing Company, 1991, p. 62-69

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]