משפט הקטגוריה של בייר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט הקטגוריה של בייר (Baire) הוא משפט שימושי מאוד באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. בעזרת המשפט אפשר להוכיח את קיומן של נקודות מסוימות במרחב מטרי שלם. נקודות אלו יכולות להיות למשל פונקציות בעלות תכונות מיוחדות.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב מטרי שלם, או מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. אזי הפנים של כל קבוצה מקטגוריה ראשונה ב- הוא ריק.

כאשר קבוצה מקטגוריה ראשונה היא קבוצה הניתנת להצגה כאיחוד בן מנייה של קבוצות דלילות. קבוצה דלילה היא קבוצה שהפנים של הסגור שלה הוא ריק.

באופן כללי קבוצה מקטגוריה ראשונה אינה בהכרח דלילה. כך לדוגמה, המספרים הרציונליים הם קבוצה מקטגוריה ראשונה (כאיחוד בן מנייה של יחידונים, שהם דלילים), והפנים של הסגור שלהם הוא כל הישר הממשי. ועדיין, לפי משפט בייר, הפנים של הרציונליים הוא ריק, עובדה שקל לוודא באופן ישיר.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש- מרחב מטרי שלם ו- קבוצות דלילות, בלי הגבלת הכלליות אפשר להניח שהן סגורות (אחרת ניתן להסתכל על הסגור). כדי להראות ש עם פנים ריק, מספיק להראות שלכל קבוצה פתוחה קיימת נקודה שאינה ב-, כלומר .

נסתכל על קבוצה פתוחה כלשהי. נסמן . נבנה סדרה של ו- המקיימים:

מהתנאי השני, מקבלים סדרת כדורים סגורים, כאשר כל כדור מכיל את כל הכדורים אחריו בסדרה. התנאי הראשון ידאג לכך שהחיתוך של כל הכדורים יהיה זר ל A. התנאי השלישי יגרום לכך שהקוטר של הכדורים ישאף לאפס, ואז יהיה ניתן להפעיל את משפט החיתוך של קנטור, כדי להראות שהחיתוך לא ריק - פה משתמשים בעובדה שהמרחב שלם.

נראה באינדוקציה כיצד בונים את הסדרה:

מאחר ש- דלילה אז קיימת נקודה . הקבוצה היא פתוחה לכן קיים כך ש-. עתה מקבלים כי .

נניח שמצאנו את הנקודות הראשונות בסדרה.

הקבוצה היא קבוצה פתוחה ולכן, משום ש- סגורה ודלילה, קיימים ו- כך ש

ולכן גם .

בלי הגבלת הכלליות אפשר להניח כי ואז מבניית הסדרות מקבלים ש .

הסדרה היא סדרת קושי וזאת מאחר שאם אז ומכאן מקבלים ש-. המרחב הוא שלם ולכן הסדרה מתכנסת לגבול .

לכל , זנב הסדרה החל מהאיבר ה--י מוכל ב- שזו קבוצה סגורה ולכן לכל , ולכן

קיבלנו ש- לכל קבוצה פתוחה , ולכן היא בעלת פנים ריק.

מסקנות מן המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

מן המשפט נובעות מסקנות רבות. לדוגמה: