משפט הקיצוץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט הקיצוץ (Excision theorem) הוא משפט בתורת ההומולוגיה הקובע כי קיים איזומורפיזם בין חבורות ההומולוגיה היחסיות של תתי-מרחבים מסוימים, באופן שניתן "לקצץ" מרחב היושב בצורה נוחה מספיק במרחב המקורי.

למשפט יש מספר שימושים, המובילים אל הגדרת אוריינטציה בכלים מתורת ההומולוגיה.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב טופולוגי, ויהיו שני תתי-מרחבים שלו כך ש-. אזי העתקת ההכלה של זוגות משרה איזומורפיזם על חבורות ההומולוגיה היחסיות .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נביט בכיסוי = הוא כיסוי טוב, כלומר מתקיים לפי הנתון.

כעת ידוע שההכלה משרה איזומורפיזם , ולכן מספיק להוכיח כי ההכלה משרה איזומורפיזם .

ההעתקה על: כל סימפלקס ב- למעשה יושב ב- (כי יש מנה ביחס ל-), ולכן מגיע מ-.

ההעתקה חח"ע: איבר מ- שהולך לאפס פירושו שהוא יושב ב-, והוא מלכתחילה ב- כלומר לא ב-, לכן הוא מ-, כלומר אפס גם ב-.

החבורה היחסית והחברה של המנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי כך ש-. ובנוסף כי נסג עיוותי של . בתנאים אלו, מתקיים . היות שההומולוגיה ביחס לנקודה היא ההומולוגיה המצומצמת, נקבל .

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נביט ב-2-טורוס ובתת-המרחב שלו שהוא מעגל באזור החיבור בין שני הטורוסים. נרצה לחשב את .

ניקח את להיות טבעת פתוחה קטנה מסביב ל-. אכן מתקיים והמעגל נסג של הטבעת, ולכן . כעת, זיהוי המעגל המפריד לנקודה בדיוק נותן איחוד נקודתי של שני טורוסים, והחבורה שלו היא כידוע הסכום הישר של החבורה של הטורוס עם עצמה, כלומר החבורות הן:

הגדרת אוריינטציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אוריינטציה (מתמטיקה)

ראשית, חישוב בסיסי מראה כי , כאשר דיסק -ממדי.

כעת, יהי משטח -ממדי ותהי . תהי סביבה של שהומיאומורפית לדיסק. בשימוש במשפט הקיצוץ על , מתקבל כי ההומולוגיה של הזוג (שנתונה לעיל), שווה ל-

.

הטענה המקבילה ליריעה עם שפה מובילה לכך שהחבורות כולן אפס.

למעשה, ידוע יותר - באיזומורפיזם יוצר מפורש של החבורה הוא שיכון של סימפלקס ביריעה, מסביב לנקודה שהוצאנו. כעת, ל- יש שני יוצרים, ו-; כל אחד מהם מתאים לשיכון של סימפלקס או שיקוף של סימפלקס. בחירה של אחת האפשרויות היא בדיוק השראת אוריינטציה בנקודה. אחד האפיונים לאוריינטציה גלובלית הוא בחירה רציפה של אוריינטציות נקודתיות, ובשפה של תורת ההומולוגיה - בחירה עקבית בכל נקודה של יוצר לחבורה לעיל.