משפט התיכון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
AD תיכון ל-BC
השטח הירוק ועוד השטח הכחול שווה לשטח האדום

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים:

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:

נעביר אגפים, ונקבל:

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:

נציב , ונקבל:

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל:

על פי כלל המעבר, נקבל:

לאחר העברת אגפים, נקבל: