משפט וריניון

תרשים של משפט וריניון

בגאומטריה אוקלידית, משפט וריניון קובע שעבור מרובע כלשהו, המרובע הבנוי מקטעי האמצעים של כל שתי צלעות סמוכות, הוא מקבילית.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר וריניון.

נוסח המשפט

יהי מרובע $\square ABCD$. מסמנים ב-$E$,‏ $F$,‏ $G$ ו-$H$ את אמצעי הצלעות $AB$,‏ $BC$,‏ $CD$ ו-$AD$.

משפט וריניון קובע כי המרובע $\square EFGH$ הוא מקבילית. מקבילית זו נקראת מקבילית וריניון.

הוכחת המשפט

מסתכלים על המשולשים $\triangle ABC$ ו-$\triangle ADC$. הקטעים $EF$ ו-$GH$ הם קטעי אמצעים במשולשים אלו בהתאמה. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שמולו ושווה למחצית אורכה. לכן, שני הקטעים הללו מקבילים לאלכסון $AC$ ושווים למחצית אורכו. יחס ההקבלה הוא יחס טרנזיטיבי, לכן $EF\parallel GH$, ומאחר ושני הקטעים שווים למחצית $AC$, הם שווים ביניהם, כלומר $EF=GH$. מרובע שבו זוג צלעות נגדיות הן שוות ומקבילות הוא בהכרח מקבילית. לכן, $\square EFGH$ היא מקבילית.

מ.ש.ל.

תכונות חשובות

תרשים של מרובע אמצע-ריבוע

• ההיקף של מקבילית וריניון שווה לסכום אורכי האלכסונים של המרובע המקורי.
• אם המרובע המקורי אינו חוצה את עצמו, אז השטח של מקבילית וריניון שווה למחצית השטח של המרובע המקורי.
• מקבילית וריניון היא מלבן אם ורק אם האלכסונים של המרובע המקורי מאונכים זה לזה (כמו במקרה של דלתון, מעוין וריבוע).
• מקבילית וריניון היא מעוין אם ורק אם האלכסונים של המרובע המקורי שווים זה לזה (כמו במקרה של טרפז שווה-שוקיים, מלבן וריבוע).
• משתי הנקודות לעיל, מקבילית וריניון היא ריבוע אם ורק אם האלכסונים של המרובע המקורי שווים ומאונכים זה לזה. מרובע שמקבילית וריניון שלו היא ריבוע נקרא מרובע אמצע-ריבוע (Midsquare quadrilateral).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט וריניון בוויקישיתוף

• משפט וריניון, באתר MathWorld (באנגלית)