משפט ניבן

במתמטיקה, ובפרט בטריגונומטריה, משפט ניבן הוא משפט העוסק ברציונליות של ערכי פונקציית הסינוס והקוסינוס.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האמריקאי-קנדי איבן ניבן אשר פרסם הוכחה שלו בשנת 1956.

ניתן להשתמש במשפט ניבן כדי להוכיח גרסאות דומות לפונקציות הסקאנס, הקוסקאנס, הטנגנס והקוטנגנס.

סימונים ומוסכמות

נסמן ב-$\mathbb {N}$,‏ $\mathbb {Z}$,‏ $\mathbb {Q}$ ו-$\mathbb {R}$ את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונליים והממשיים בהתאמה.

בערך זה ערכן של פונקציות טריגונומטריות מחושב ברדיאנים.

מבוא ומוטיבציה

בהינתן מספר רציונלי $r\in \mathbb {Q}$ ניתן להוכיח כי $\cos(r\pi )$ הוא בהכרח מספר אלגברי. הוכחה זו מתבססת על כך שקיימים זוג מספרים טבעיים $p,q\in \mathbb {N}$ כך ש-$p=rq$ ולכן $\cos(r\pi )$ הוא שורש של הפולינום $T_{2q}(x)-1$ כאשר $T_{2q}(x)$ הוא פולינום צ'בישב מהסוג הראשון מדרגה $2q$.

ידוע כי לא כל מספר אלגברי הוא בהכרח מספר רציונלי. על כן, נשאלת השאלה: באילו מקרים מתקיים שגם $r\in \mathbb {Q}$ וגם $\cos(r\pi )\in \mathbb {Q}$?

משפט ניבן מוכיח שבכל תחום נתון, כמו למשל התחום $0\leq r\leq 1$, מספר ערכי $r$ שמקיימים תנאי זה הוא סופי וידוע.

נוסח המשפט

גרסה לפונקציית הסינוס

תהי זווית $0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ כך ש-${\frac {\theta }{\pi }}$ הוא רציונלי וגם $\sin \theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta =0$ ו-$\sin \theta =0$
2. $\theta ={\frac {\pi }{6}}$ ו-$\sin \theta ={\frac {1}{2}}$
3. $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ו-$\sin \theta =1$

גרסה לפונקציית הקוסינוס

תהי זווית $0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ כך ש-${\frac {\theta }{\pi }}$ הוא רציונלי וגם $\cos \theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta =0$ ו-$\cos \theta =1$
2. $\theta ={\frac {\pi }{3}}$ ו-$\cos \theta ={\frac {1}{2}}$
3. $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ו-$\cos \theta =0$

הוכחה

מכיוון ומתקיימת הזהות הטריגונומטרית $\sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$, שתי הגרסאות של המשפט שקולות זו לזו.

לכן, די להוכיח את הגרסה לפונקציית הקוסינוס כדי להוכיח את המשפט כולו.

מגדירים סדרת פולינומים במקדמים שלמים $\left\{F_{n}(x)\right\}_{n=0}^{\infty }$ אשר מוגדרת רקורסיבית באופן הבא:

• $F_{0}(x):=2$
• $F_{1}(x):=x$
• $F_{k+1}(x):=xF_{k}(x)-F_{k-1}(x)$ לכל $k\in \mathbb {N}$.

ניתן להוכיח כי לפולינומים אלו התכונות הבאות:

1. לכל $n\in \mathbb {N}$ הפולינום $F_{n}(x)$ הוא מדרגה $n$.
2. לכל $n\in \mathbb {N}$, הפולינום $F_{n}(x)$ הוא פולינום מתוקן (כלומר, האיבר המוביל של הפולינום הוא $1$).
3. לכל $n\in \mathbb {N}$ ולכל $\theta \in \mathbb {R}$ מתקיימת הזהות $F_{n}(2\cos \theta )=2\cos(n\theta )$.

הפולינומים $F_{n}(x)$ מהווים גרסה מתוקנת של פולינומי צ'בישב.

כעת, מניחים כי $0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ היא זווית העומדת בתנאי המשפט. לכן קיימים $p,q\in \mathbb {N}$ זרים זה לזה כך ש-$\theta ={\frac {p}{q}}\pi$.

מסמנים $c:=2\cos \theta$. לפי ההנחות על $\theta$, $c$ הוא מספר רציונלי אי-שלילי (זאת מכיוון שהפונקציה $\cos \theta$ מקבלת ערכים אי-שליליים בלבד בתחום $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$).

מכאן מתקיים כי:

$F_{2q}(c)=F_{2q}(2\cos \theta )=2\cos(2q\theta )=2\cos \left(2q\cdot {\frac {p}{q}}\pi \right)=2\cos \left(2p\pi \right)=2$

מגדירים פולינום חדש $G(x):=F_{2q}(x)-2$ ומקבלים ש-$c$ הוא שורש רציונלי שלו. $G(x)$ הוא פולינום מתוקן במקדמים שלמים, לכן לפי משפט השורש הרציונלי, כל שורש רציונלי שלו חייב להיות שלם, כלומר $c\in \mathbb {Z}$. מצד שני, $0\leq c=2\cos \theta \leq 2$. לכן, הערכים היחידים ש-$c$ יכול לקבל הם $0$,‏ $1$ ו-$2$ ובהתאמה $\cos \theta$ יכול לקבל אך ורק את הערכים $0$, ‏${\frac {1}{2}}$ ו-$1$. הפונקציה $\cos \theta$ מונוטונית יורדת ממש בתחום $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$, לכן הערכים המתאימים היחידים ש-$\theta$ יכול לקבל לכל $\cos \theta$ כנ"ל הם ${\frac {\pi }{2}}$,‏ ${\frac {\pi }{3}}$ ו-$0$ בהתאמה.

מ.ש.ל.

הכללות ומסקנות

הכללה לזווית כללית

משפט ניבן עוסק בזוויות בתחום $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$. עם זאת, ניתן להשתמש בזהויות הטריגונומטריות $\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \theta$ ו-$\cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \theta$ כדי להכליל את המשפט לזווית $\theta$ כללית. משמעות הדבר היא שהערכים הרציונליים היחידים ש-$\cos \theta$ ו-$\sin \theta$ יכולים לקבל כך שגם ${\frac {\theta }{\pi }}$ תהיה גם רציונלית הם $0$,‏ $\pm {\frac {1}{2}}$ ו-$\pm 1$.

גרסה לפונקציית הטנגנס

תהי זווית $0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ כך ש-${\frac {\theta }{\pi }}$ הוא רציונלי וגם $\tan \theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta =0$ ו-$\tan \theta =0$
2. $\theta ={\frac {\pi }{4}}$ ו-$\tan \theta =1$

הוכחה

תהי $0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ זווית העומדת בתנאי המשפט. מסמנים $q:=\tan \theta$. באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי:

$\cos(2\theta )={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1-q^{2}}{1+q^{2}}}$

לכן, מאחר ש-$q$ רציונלי בהכרח גם $\cos(2\theta )$ רציונלי. כלומר, הזווית $2\theta$ עומדת בתנאים של משפט ניבן לפונקציית הקוסינוס בתחום $[0,\pi ]$. לכן הערכים היחידים ש-$2\theta$ יכול לקבל הם מהקבוצה $\left\{0,{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {2\pi }{3}},\pi \right\}$. משמע הערכים היחידים ש-$\theta$ יכול לקבל הם מהקבוצה $\left\{0,{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{2}}\right\}$.

על ידי בחינה של כל אחד מהערכים הללו ניתן להוכיח שהערכים היחידים שעבורם $\tan \theta$ הוא אכן רציונלי הם $\theta =0$ ו-$\theta ={\frac {\pi }{4}}$.

מ.ש.ל.

גרסה לפונקציית הקוטנגנס

תהי זווית $0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ כך ש-${\frac {\theta }{\pi }}$ הוא רציונלי וגם $\operatorname {cotan} \theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta ={\frac {\pi }{4}}$ ו-$\operatorname {cotan} \theta =1$
2. $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ו-$\operatorname {cotan} \theta =0$

הוכחה

ההוכחה לגרסה זו זהה להוכחה לגרסת הטנגנס, אך עושה שימוש בזהות הטריגונומטרית:

$\cos(2\theta )={\frac {\operatorname {cotan} ^{2}\theta -1}{\operatorname {cotan} ^{2}\theta +1}}$

מצולע משוכלל שקודקודיו על סריג

מסתכלים על הסריג $\mathbb {Z} ^{d}$ עבור $d\geq 3$ ובוחרים מתוכו $n$ נקודות היוצרות מצולע משוכלל (מצולע שכל צלעותיו וכל זוויותיו שוות).

אזי, הערכים היחידים ש-$n$ יכול לקבל הם $n=3,4,6$.

הוכחה

לוקחים שלוש נקודות סמוכות על גבי המצולע $A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3}),C=(c_{1},c_{2},c_{3})$.

בגלל שהמצולע משוכלל ובעל $n$ צלעות $\angle ABC={\frac {2\pi }{n}}$ ו-$s:=|AB|=|BC|$. כמו כן מסמנים $h:=|AC|$.

ניתן לראות כי $s^{2}=|AB|^{2}=(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\in \mathbb {Z}$. באופן דומה אפשר להראות כי $h^{2}\in \mathbb {Z}$.

ממשפט הקוסינוסים על המשולש $\triangle ABC$ מקבלים:

$\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)={\frac {s^{2}+s^{2}-h^{2}}{2s\cdot s}}=1-{\frac {h^{2}}{2s^{2}}}\in \mathbb {Q}$

על כן הזווית ${\frac {2\pi }{n}}$ מקיימת את תנאי משפט ניבן והערכים היחידים שהיא יכולה לקבל הם מהקבוצה $\left\{0,{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {2\pi }{3}},\pi \right\}$.

מאחר ש-$n$ מספר טבעי שגדול או שווה ל-3, הערכים היחידים שהוא יכול לקבל הם $n=3,4,6$.

להלן דוגמאות למצולעים שכאלו עבור הסריג התלת-ממדי:

• משולש שווה-צלעות: $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$
• ריבוע: $(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)$
• משושה משוכלל: $(0,0,0),(1,1,0),(2,1,1),(2,0,2),(1,-1,2),(0,-1,1)$

מ.ש.ל.

הבהרה לגבי מצולע משוכלל על סריג דו-ממדי

על אף שההוכחה לעיל אינה משתמשת במספר הממדים $d$ של הסריג, ניתן להראות כי הטענה אינה נכונה לסריג הדו-ממדי $\mathbb {Z} ^{2}$.

ניתן להראות באמצעות משפט פיק שלא ניתן לבנות משולש שווה-צלעות על הסריג הדו-ממדי. מסיבה זו, גם לא ניתן לבנות משושה משוכלל על הסריג הדו-ממדי, שכן אחרת אפשר היה לקחת כל קודקוד שני שלו וליצור משולש שווה-צלעות.

עם זאת, ניתן לבנות על הסריג הדו-ממדי את הריבוע הסטנדרטי $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$.

ראו גם

• שדה המספרים הניתנים לבנייה

קישורים חיצוניים

• משפט ניבן, באתר MathWorld (באנגלית)
• some very nice values of cosine, סרטון בערוץ "Michael Penn", באתר יוטיוב, 10/10/2024