משפט נתר (פיזיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט נתר הוא משפט חשוב בפיזיקה תאורטית הקושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת. כך למשל, חוק שימור התנע נובע מסימטריה של מערכת להזזות (כלומר התנע נשמר כאשר מאפייני המערכת אינם תלויים במיקומה). המשפט קרוי על שם המתמטיקאית אמי נתר שהוכיחה אותו במהלך מחקר של בעיות בחוק שימור האנרגיה בתורת היחסות הכללית. המשפט והוכחתו פורסמו במאמר בשנת 1918.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לנסח את משפט נתר באופן הבא:

עבור כל סימטריה רציפהגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור[1].

ניסוח מתמטי:

בהינתן לגראנז'יאן \mathcal{L}(\phi(x_{\mu}),\partial_\mu\phi,x_{\mu}), נניח שהפעולה
 \mathcal{S}[\phi]\,=\,\int \mathrm{d}x_{\mu} \mathcal{L}(\phi(x_{\mu}),\partial_\mu\phi(x),x_{\mu})
אינווריאנטית תחת טרנספורמציה התלויה באופן רציף וגזיר בפרמטר \ \alpha על ידי:
 x \rightarrow y(x,\alpha), \quad \phi \rightarrow \psi(\phi,\alpha) .
כאשר
\ x_{\mu} = (x_0,x_i) =(t,x_i)
אזי קיים זרם שמור \ J^{\mu} המקיים משוואת רציפות  \sum_{\mu} \partial_{\mu} J^{\mu} =0 .
הזרם נתון על ידי

\ J^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \phi ) } \delta \phi -  \left( \frac{\partial \mathcal{L} } {\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - g^\mu_\nu \mathcal{L}\right) \delta x^\nu

כאשר g היא המטריקה ו-\ g^\mu_\nu = \delta_{\mu , \nu} היא דלתא של קרונקר.
מזרם זה ניתן לקבל את המטען השמור  Q=\int d^3x J^0 המקיים
 \frac{dQ}{dt} = \frac{dQ}{dx_0} = 0 . [2]

הגודל \theta ^\mu_\nu = \frac{\partial \mathcal{L} } {\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - g^\mu_\nu נקרא טנזור צפיפות המאמץ-אנרגיה ועל ידי ביצוע סימטריזציה שלו אפשר לקבל את טנזור המאמץ-אנרגיה היחסותי \ T^{\mu \nu}.

משפט נתר במכניקת הקוונטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקת הקוונטים, בה משוואת שרדינגר תלויה בהמילטוניאן, מקבל משפט נתר את הצורה הבאה:

תהי \ T = e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon G } טרנפורמציה יוניטרית רציפהאופרטור G נקרא "יוצר הטרנספורמציה"). אזי T היא סימטריה של המערכת אם ורק אם \ [ T , H ] = 0 וזה קורה אם ורק אם G הוא קבוע (בזמן) של התנועה.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

\ [ T , H ] = 0 שקול ל \ T^\dagger H T = H . זה נכון לכל סדר, ובפרט לסדר ראשון ב-\varepsilon:

\ \left( 1 + \frac{i}{\hbar} \varepsilon G + O(\varepsilon^2) \right) H \left( 1 - \frac{i}{\hbar} \varepsilon G + O(\varepsilon ^2) \right)

נקבץ איברים ונקבל

\ H + \frac{i}{\hbar} \varepsilon [G,H] + O( \varepsilon ^2) = H

וזה קורה אם ורק אם

\ [ G , H ] = GH - HG = 0

אבל, מאחר שההמילטוניאן הוא יוצר של ההתקדמות בזמן

\ [ G , H ] = i \hbar \frac{\partial G}{\partial t}

ולכן

\ \frac{\partial G}{\partial t} = 0

כלומר, G הוא קבוע של התנועה.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת משפט נתר ניתן לקבל את חוקי השימור הבאים:

ועוד חוקי שימור נוספים, כגון חוקי שימור של המספר הבריוני והלפטוני.

חשיבות המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפט נתר חשיבות גדולה בפיזיקה תאורטית. המשפט קושר בין כל חוקי השימור הפיזיקליים (כולם נובעים בעצם מאותה סיבה בסיסית - סימטריה). יתירה מזו, חוקי השימור הבסיסיים והחשובים (אנרגיה, תנע, תנע זוויתי) נובעים בעצם מהנחות מאוד בסיסיות ואינטואיטיביות - ההומוגניות והאיזוטרופיות של חוקי הפיזיקה (כלומר ההנחה שחוקי הפיזיקה אינם תלויים בזמן ובמרחב, ואותם חוקים התקפים כאן ועכשיו יהיו תקפים גם בעוד מיליוני שנים וגם בגלקסיות רחוקות).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ יש לציין כי זהו ניסוח פשטני שבדרך כלל נמצא בשימוש בפיזיקה. הניסוח המקורי של המשפט כולל הבחנה בין חבורות סימטריה סופיות ואינסופיות. כמו כן גם הכיוון ההפוך של המשפט נכון - כל גודל שמור מתקבל מאיזשהי סימטריה של הפעולה.
  2. ^ הניסוח המתמטי מתאים ללגראנז'יאן של שדה. עבור לגראנז'יאן  L(q,\dot{q},t) ופעולה  S= \int L dt הגודל השמור הוא פשוט \ Q=J_0