משפט ספין-סטטיסטיקה

במכניקה קוונטית, משפט הספין-סטטיסטיקה מייחס התנהגות סטטיסטית מסוימת לחלקיקים בהתאם לספין שלהם. ספין הוא תנע זוויתי 'פנימי' של חלקיק (כגון אלקטרון). לכל החלקיקים יש ספין שהוא מספר שלם או חצי שלם (מספר שלם ועוד חצי), בכפולות של קבוע פלאנק. שני מקרים אלו מכונים בהתאמה בוזונים ופרמיונים.

מהמשפט עולה כי פרמיונים נוהגים לפי עקרון האיסור של פאולי, בעוד שבוזונים חופשיים מעיקרון זה. כלומר בכל זמן שהוא, מצב קוונטי נתון יכול להיות מאוכלס על ידי פרמיון אחד לכל היותר, אך אין הגבלה על מספר הבוזונים שיכולים לאכלס מצב קוונטי נתון.

אבני היסוד של החומר, כגון פרוטונים, נייטרונים, ואלקטרונים הם פרמיונים. הכוחות בין חלקיקים אלו נישאים על ידי הבוזונים השונים: פוטונים, $\ w^{+},w^{-},z^{0}$, וגלואונים.

משני סוגי הסטטיסטיקה עולות שתי תופעות מעניינות:

• התפלגות בוז-איינשטיין, המתארת את הבוזונים, מובילה לעיבוי בוז-איינשטיין. מתחת לטמפרטורה מסוימת, רוב החלקיקים במערכת המורכבת מבוזונים יאכלסו את מצב היסוד (המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר במערכת). במקרה זה מופיעות תכונות מעניינות, כגון נוזליות-על.
• התפלגות פרמי-דיראק, המתארת פרמיונים, מובילה אף היא לתכונות מעניינות. כיוון שלכל היותר פרמיון אחד יכול לאכלס מצב קוונטי נתון. מכיוון שאלקטרונים הם בעלי ספין 1/2 (מקבלים רק את שני ערכי הספין $\pm 1/2$), יכול כל אורביטל באטום להכיל לכל היותר שני אלקטרונים שהספינים שלהם הפוכים זה ביחס לזה. לכן, גם כשהטמפרטורה היא אפס מוחלט, המערכת עדיין נושאת כמות אנרגיה משמעותית. כתוצאה מכך, מערכות הבנויות מפרמיונים מפעילות לחץ כלפי חוץ גם בטמפרטורה אפס. לחץ זה אחראי למניעת קריסתם של כוכבים מסיביים כתוצאה מכבידה (ראו: ננס לבן, כוכב נייטרונים וחור שחור).

הוכחה

ספין מתאר את ההתנהגות של חלקיק תחת סיבובים, כך שסיבוב בזווית של $\ \alpha$ רדיאנים נותן לפונקציית הגל של החלקיק פאזה של $\ \alpha \cdot S$.

במערכת של שני חלקיקים המצויים תחת תנאים זהים, החלפה בין מיקומם של שני החלקיקים שקולה לסיבוב המערכת בזווית של 180 מעלות, כלומר $\ \pi$ רדיאנים. אם לחלקיקים ספינים S1 ו-S2, תקבל פונקציית הגל המשותפת שלהם פאזה כוללת של $\ \pi \cdot (S1+S2)$. עבור שני חלקיקים זהים בעלי ספין S, פאזה זו היא $\ 2\pi \cdot S$.

אם S שלם, נקבל פאזה שהיא כפולה $\ 2\pi$, כלומר פונקציית הגל לא השתנתה, ומשום כך היא סימטרית תחת החלפת מיקומי החלקיקים. לעומת זאת, אם S חצי שלם (כלומר שווה למספר שלם ועוד חצי), נקבל פאזה שהיא כפולה אי-זוגית של $\ \pi$, כלומר פונקציית הגל הוכפלה במינוס 1, ומשום כך היא אנטי-סימטרית תחת החלפת מיקומי החלקיקים.

ראו גם

• בוזון
• פרמיון
• עיבוי בוז-איינשטיין
• עקרון האיסור של פאולי
• טרנספורמציית קליין
• התפלגות פרמי-דיראק
• התפלגות בוז-איינשטיין

לקריאה נוספת

• W. Pauli, The Connection Between Spin and Statistics, Phys. Rev. 58, 716-722 (1940)

קישורים חיצוניים

• משפט ספין-סטטיסטיקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)