משפט פסקל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
משפט פסקל: שלוש הנקודות המסומנות נמצאות על ישר אחד

משפט פסקל הוא משפט בגאומטריה של המישור, העוסק בנקודות המפגש של שתי שלשות של נקודות. את המשפט הוכיח בלז פסקל ב-1639.

תהיינה 1,2,3,4,5,6 נקודות על חתך חרוט (אליפסה, היפרבולה וכדומה). נשרטט את המשושה 123456, שצלעותיו הן הישרים המחברים את הזוגות 12,23,34,45,56,61. משפט פסקל קובע ששלוש נקודות החיתוך של הצלעות הנגדיות, כלומר , , ו-, נמצאות על ישר אחד. ישר זה נקרא ישר פסקל של המשושה. הוכחתו המקורית של פסקל לא נשתמרה, ומשערים שהיא מבוססת על משפט מנלאוס ביחס למשולש שצלעותיו הן הישרים 12,34,56.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל שש נקודות המקיימות את תנאי פסקל נמצאות על חתך חרוט. היפוך המשפט מאפשר לשרטט חתך חרוט באופן מכני: נקבע ישרים ונקודות ; אז המקום הגאומטרי של הנקודות כאשר הוא חתך חרוט, העובר דרך הנקודות .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפט פסקל ישנן הוכחות רבות.

הוכחה באמצעות הצמדה איזוגונלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

שרטוט ההוכחה

בהינתן משולש ABC ונקודה P, הצמדה איזוגונלית של P ביחס ל-ABC זו נקודה *P המוגדרת כנקודת החיתוך של שיקופי AP,BP,CP ביחס לחוצי הזוויות המתאימים. נרצה להוכיח את הישר המקווקו DEF, ונסתך על העובדה שהמשולש הירוק והמשולש הכחול דומים.

נשים לב כי לא רק ש-A'EA דומה ל-C'EC, אלא גם ש-AF ו-A'F יוצרים אותן זוויות עם צלעות המשולש הכחול כמו הזוויות ש-CD ו-C'D יוצרים עם צלעות המשולש הירוק, אבל בסדר הפוך. נשרטט את נקודה F' במשולש הירוק כך ש-A'FEA דומה ל-C'F'EC. בפרט, . הדמיון אומר כי ואותו הדבר בנוגע לזוויות האחרות: כלומר, D היא הצמודה האיזוגונלית של 'F במשולש הירוק. בפרט, . קיבלנו , וזה מתקיים אם ורק אם DEF ישר.

הוכחה באמצעות דואליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט הדואלי למשפט פסקל, משפט בריינשון

ניתן לבצע למשפט דואליות (אנ') ביחס לחתך החרוט הנתון. כל הנקודות עליו יהפכו לישרים משיקים, וישרים כמו הופכים לנקודות חיתוך של הישרים המשיקים. הנקודה הופכת לישר המחבר בין שתי נקודות החיתוך. צריך להוכיח ש-3 נקודות נמצאות על ישר אחד, או בדואליות, ש-3 שירים נחתכים בנקודה. זה הניסוח המדויק של משפט בריינשון (אנ').

הוכחה באמצעות משפט קיילי-בכראך[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט קיילי-בכראך (אנ') אומר כי אם שלושה עקומים אליפטיים נחתכים בשמונה נקודות, קיימת נקודה תשיעית שכל השלושה עוברים בה. משפט בז'ו (אנ') אומר כי עקום אלגברי ממעלה n ועקום אלגברי ממעלה m נחתכים ב-nm נקודות לכל היותר, ובמקרה שלנו זה אומר כי שני עקומים אלפטיים נחתכים ב-9 נקודות לכל היותר. לכן, ניסוח שקול למשפט קיילי-בכראך אומר כי אם יש שני עקומים אליפטיים הנחתכים ב-9 נקודות, עקום אליפטי העובר ב-8 מהן יעבור גם בתשיעית.

שני העקומים האליפטיים הראשונים הם ו-, מכפלה (או איחוד) של שלושה ישרים. העקום השלישי יהיה חתך החרוט כפול (או מאוחד עם) ישר שעובר בשתיים משלוש הנקודות שמטרתינו להוכיח שהן על ישר. שלושת העקומים נחתכים ב-8 נקודות: 1,2,3,4,5,6 ושתיים מהנקודות האדומות. שני העקומים הראשוניים נחתכים בנקודה האדומה השלישית; ולכן גם העקום השלישי. חתך החרוט לא עובר בנקודה הזו (אחרת אחד מהישרים היה חותך את חתך החרוט 3 פעמים) ולכן הישר דרך 2 הנקודות האדומות עובר בנקודה האדומה השלישית.

Hexagrammum Mysticum[עריכת קוד מקור | עריכה]

שלושה ישרי פסקל נפגשים בנקודת שטיינר

נניח ששש הנקודות 1,2,3,4,5,6 נתונות בלי חשיבות לסדר. מכיוון שהמשושה תלוי בסדר הקודקודים ולא רק במקומם, יש משושים שונים שאלו הקודקודים שלהם (המשושה נקבע לפי מספור ששת הקודקודים, עד כדי סיבוב והיפוך הסדר). כל אחד ואחד מן המשושים האלה מגדיר ישר פסקל משלו, כך שששיית הנקודות במישור קובעת מערכת של 60 ישרי פסקל הקרויה "Hexagrammum Mysticum", שיש לה תכונות קומבינטוריות מורכבות.

20 נקודות שטיינר ו-15 ישרי פלוקר של ששיית נקודות

לדוגמה, יאקוב שטיינר הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שלוש נקודות זוגיות (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 143652 ו-163254) נפגשים בנקודה אחת; כך נוצרות 20 "נקודות שטיינר" (ראה איור). יש 15 "ישרי פלוקר" שכל אחד מהם עובר דרך ארבע נקודות שטיינר [1] (ראה איור). בדומה לזה, T.P. Kirkman (1806-1895) הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שתי שלשות רצופות בכיוונים הפוכים (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 312564 ו-231645) גם הם נפגשים בנקודה אחת, וכך נוצרות 60 נקודות שכל אחת מהן שייכת לשלושה ישרי פסקל. יש 20 "ישרי קיילי" שכל אחד מהם עובר דרך נקודת שטיינר ושלוש נקודות קירקמן; ויש 15 "נקודות סלמון" שכל אחת מהן היא נקודת המפגש של ארבעה ישרי קיילי.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Geometry Revisited, Coxeter and Greitzer, Section 3.8

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא משפט פסקל בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ נסמן ב-D את חבורת התמורות הנוצרת על ידי הסיבוב (123456) והשיקוף (26)(35); לכל תמורה מוגדר ישר פסקל של הקוסט . נסמן ו-. הישרים של נפגשים בנקודת שטיינר של הקוסט .