משפט קוקס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Gnome-edit-clear.svg
ערך זה זקוק לעריכה: הסיבה לכך היא: ניסוחים לא ברורים, מעט תרגמת.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

משפט קוקסאנגלית: Cox's theorem) הוא פיתוח אקסיומטי חליפי לחוקי תורת ההסתברות, המבוסס על הרחבה של לוגיקה בוליאנית למצבי חוסר ודאות, תוך שמירה על עקרונות יסוד מסוימים (האקסיומות). המשפט נקרא על שמו של הפיזיקאי ריצ'רד טרקלד קוקס (Richard Threlkeld Cox). למרות שהתורה הנגזרת מפיתוח זה זהה בכמעט כל מובן לתורת ההסתברות הקלאסית, הפרשנות בה למה מייצגת הסתברות של מאורע נתון היא בייסיאנית באופייה.

ההנחות של משפט קוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט קוקס מבוסס על ההנחות הבאות:

  1. הסבירות של נכונות טענה ניתנת ליצוג באמצעות מספר ממשי. היא מבוססת על מידע הקשור לטענה.
  2. שכל ישר - סבירויות ישתנו על פי השכל הישר של סבירויות המודל
  3. עקביות - אם יש דרכים שונות להערכת סבירות טענה, תוצאות כל הדרכים צריכות להיות שוות.

ההנחות הנ"ל מובאות כפי שנוסחו על ידי Arnborg וSjödin. המשפט כפי שנוסח במקור על ידי קוקס מנוסח באופן פורמלי מעט יותר מהניסוח לעיל, אך עדיין לא באופן ריגורוזי לחלוטין. ניתן לפרמל את ההנחות ולהוכיח את המשפט אם מוסיפים הנחות בהן השתמש קוקס באופן מרומז או באופן גלוי.

המשוואות המרכיבות את האקסיומה של קוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשוואות המרכיבות את האקסיומה של קוקס הן:

  • ההסתברות של נכונות טענה קובעת את ההסתברות של שלילת הטענה. כשההסתברות של הטענה גדלה ההסתברות של שלילת הטענה קטנה. כשההסתברות של שלילת הטענה גדלה ההסתברות של הטענה קטנה. המשוואה הנגזרת מכך היא:
  • הסבירות של האיחוד [A & B] של שתי טענות A ו-B תלויה רק בסבירות של טענה B וסבירות של A בהינתן ש-B נכונה. מה הסיק קוקס שאיחוד של סבירויות הוא אסוציאטיבי. בניסוח מתמטי: כאשר g היא פונקציה המבוססת על אופרציה בינארית אסוציאטיבית של A ו-B.
  • נניח ש [A & B] שווה ערך ל [C & D]. אם נקבל מידע חדש A ואחרי זה נקבל מידע חדש B ונעדכן את כל ההסתברויות בלכ פעם על פי המידע החדש, ההסתברויות המעודכנות יהיו זהות להסתברויות המעודכנות במקרה שנקבל מידע חדש C ואחרי זה נקבל מידע חדש D. המשמעות היא שכפל של הסתברויות זהה לכפל של מספרים ממשיים. המשוואה הנגזרת מכך היא:

המשמעות של המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט קוקס הפכה לאחת ההצדקות של השימוש בהסתברות בייסיאנית.[1] בעוד על פי תפיסת הסתברות רגילה, הסתברות מתפרשת כשיטת לוגיקה פורמלית המהווה הרחבה של הלוגיקה של אריסטו, למצבי אי-ודאות. קיים ויכוח על השאלה האם משפט קוקס מוציאה מכלל אפשרות מודלים אחרים להסתברות בתנאי אי-ודאות. הוצעו גם חלופות אחרות, המתבססות על ביטול חלק מההנחות הפחות אינטואיטיביות במשפט קוקס. מודל כזה הוצע למשל על ידי הארדי.[2]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ .E. T. Jaynes Wayman Crow, Probability Theory: The Logic of Science, Washington University, Chap. 1 and Chap 2
  2. ^ . Michael Hardy, Scaled Boolean Algebras, Cornell University