משפט קיילי

בתורת החבורות, משפט קיילי קובע שכל חבורה סופית איזומורפית לתת חבורה של חבורה סימטרית כלשהי, וכך מציג את החבורה כחבורת תמורות. המשפט מראה שאפשר ללמוד את כל החבורות הסופיות באמצעות טיפול אחיד בתמורות, והוא נחשב לאחד מ"משפטי ההצגה" הקלאסיים: כל עצם מופשט (חבורה) הוא למעשה אובייקט קונקרטי ומוכר.

היסטוריה

בעבודתו של אווריסט גלואה (בסביבות 1830), החבורה נתפסת כקבוצה קונקרטית של תמורות. ב-1854 כתב המתמטיקאי ארתור קיילי שני מאמרים קצרים על מושג החבורה. במאמר הראשון הוא מגדיר חבורה (סופית) על-פי האסוציאטיביות וההפיכות של כל האיברים, כלומר, כאובייקט מופשט. קיילי מציג את הדוגמאות שלו דרך לוח כפל, ומעיר שכל איבר הוא למעשה תמורה על אברי החבורה. בכך הוא רומז שכל חבורה (במובן המודרני, האקסיומטי, של המושג) היא למעשה חבורה של תמורות, אף על פי שאינו מוכיח את המשפט במפורש. אכן, ויליאם ברנסייד (בספרו מ-1911) מייחס את המשפט לקאמי ז'ורדן, שסיפק לו הוכחה מפורשת ב-1870.

העידון של משפט קיילי

לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר n כתת-חבורה של החבורה הסימטרית $S_{n}$. ההוכחה מבוססת על פעולה נאמנה הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו להלן).

למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם העידון של משפט קיילי: אם ל-$G$ יש תת-חבורה $H$ מאינדקס $n$, אז יש העתקה $\psi \colon G\rightarrow S_{n}$ שהגרעין שלה הוא הליבה של $H$: חיתוך תת-החבורות של $G$ הצמודות ל-$H$, דהיינו, $\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}$. הוכחת העידון מתקבלת מניתוח הפעולה של $G$ על אוסף המחלקות $G/H$ על ידי כפל משמאל: $g\colon xH\mapsto gxH$.

מסקנה מיידית ממשפט העידון של קיילי הוא שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס $n$ מוכרחה להיות תת חבורה נורמלית מאינדקס המחלק את $n!$. אכן, לפי משפט האיזומורפיזם הראשון נקבל כי $G/{\text{Ker}}\ \psi \cong {\text{Im}}\ \psi \leq S_{n}$, ולכן $[G\colon {\text{Ker}}]=|{\text{Im}}\ \psi |\ |\ |S_{n}|=n!$. בפרט, חבורה פשוטה לא-אבלית המכילה תת-חבורה מאינדקס $n$ משוכנת ב-$S_{n}$ ולכן הסדר שלה מחלק את $n!$.

דוגמה

נבחר את החבורה $G=\mathbb {Z} _{4}$ ונשכן אותה ב-$S_{4}$ ,כלומר נמצא תת חבורה של $S_{4}$ שאיזומורפית ל-$G$.

נגדיר העתקה $\varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}$.

$\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}$

$\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}$

$\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}$

$\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}$

התמורות שהגדרנו אינן מקריות, בנינו אותן כך שהתמורה $\varphi (i)$ מעבירה את המספר $j$ ל-$i+j$ (הסכום בחבורה $\mathbb {Z} _{4}$, כלומר מודולו 4).

הוכחת המשפט

תהא $G$ חבורה סופית מסדר $n$. יש לבנות הומומורפיזם מ-$G$ אל החבורה הסימטרית $S_{n}$. לשם כך, מספיק להתאים לכל איבר של $G$ תמורה על האיברים של $G$ עצמה (אפשר לזהות את התמורות על $G$ עם התמורות על כל קבוצה אחרת באותו גודל, על ידי התאמה של האיברים זה לזה). במילים אחרות, יש לבנות פונקציה $\phi :G\rightarrow S_{G}$, כאשר $\ S_{G}$ היא אוסף התמורות על $G$. את התמורה $\phi (g):G\rightarrow G$ מגדירים לפי כפל משמאל: $(\phi (g))(x)=gx$. זוהי תמורה, משום שאם $gx=gy$, אז $x=y$ (שהרי $G$ חבורה, וכל איבריה הפיכים). בנוסף לזה, פעולת $\phi (gh)$ על איבר $x$ שווה ל-$(\phi (gh))(x)=(gh)x$, וזה שווה ל-$\phi (g)(\phi (h)(x))=\phi (g)(hx)=g(hx)$, בגלל האסוציאטיביות של $G$. לבסוף, אם $\phi (g)=\phi (h)$ אז גם $g=\phi (g)(1)=\phi (h)(1)=h$, ולכן $\phi$ חד-חד-ערכית.

ראו גם

• הלמה של יונדה