משפט קיילי-המילטון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה , כלומר, מתקיים . בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל , והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל ; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות הם חוגי זהויות פולינומיות.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן . ראשית ידוע כי לכל מטריצה מתקיים כי , ולכן עבור מתקיים כי ומכיוון שאיברי המטריצה הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-. לכן ניתן לכתוב את כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, . מכיוון ש- אז מתקיים כי ו- ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי אז אם נכפול ב-A נקבל כי ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

הוכחה עבור מטריצות לכסינות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:

  • הפעלת המטריצה הריבועית (המטריצה המתקבלת מהצבת המטריצה המקורית A בפולינום האופייני שלה) על כל אחד מהוקטורים העצמיים של A מחזירה את הווקטור העצמי כפול סקלר מסוים (זה נובע מהגדרה של וקטור עצמי).
  • הסקלר הזה שווה לערך הפולינום האופייני כאשר מציבים בו את הערך העצמי אליו משויך הווקטור העצמי; בכתיב מתמטי:
  • מהגדרת הפולינום האופייני נובע שכל ערך עצמי של המטריצה המקורית הוא שורש שלו; לפיכך המטריצה שולחת את כל אחד מהווקטורים העצמיים של A לאפס ( לכל i).
  • מכיוון ש-A לכסינה, אוסף הווקטורים העצמיים שלה, , הוא בסיס למרחב עליו היא פועלת. מכיוון ששתי מטריצות הפועלות באופן זהה על כל אחד מוקטורי בסיס של מרחב ליניארי הן בהכרח זהות, מקבלים ש- שווה זהותית למטריצת האפס.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]