משפט רימן-רוך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית ובאנליזה מרוכבת, משפט רימן רוך הוא כלי חשוב המאפשר לחשב את המימד של מרחבי פונקציות מרומורפיות עם אפסים וקטבים נתונים על משטחי רימן קומפקטיים, ומאפשר להסיק את קיומן של פונקציות המוגדרות על המשטח, ומקיימות אילוצים מסוימים, שמספרם אינו עולה על הגנוס.

המשפט הוכח בשני חלקים. תחילה הוכיח ברנרד רימן טענה הנקראת אי שוויון רימן, הנותנת צד אחד מטענת המשפט. לאחר מכן הוכיח אחד מתלמידיו, גוסטב רוך, את המשפט במלואו בשנות ה-50 של המאה ה-19.

מאוחר יותר הוכחו הכללות רבות של המשפט, בין היתר לעקומים אלגברים וליריעות אלגבריות מממדים גבוהים יותר.

המרחב (L(D[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי X הוא משטח רימן קומפקטי, וכי D הוא מחלק על X. כזכור, מחלק D על משטח רימן קומפקטי הוא פשוט סכום סופי \,\sum_{i=1}^n c_i \cdot x_i כאשר \,c_i \in \mathbb{Z} הם מספרים שלמים, ו\,x_i \in X הן נקודות בX. הדרגה של D מוגדרת להיות \,\deg(D) = \sum_{i=1}^n c_i.

יחס סדר חלקי על מחלקים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי \,D_1, D_2 הם שני מחלקים על X כך שמתקיים \,D_1 = \sum_{i=1}^n c_i \cdot x_i \,D_2 = \sum_{i=1}^n d_i \cdot x_i (כל שני מחלקים אפשר לכתוב עם אותם אינדקסים בדיוק משום שייתכן ש\,c_i או \,d_i שווים ל0 עבור אינדקסים מסוימים). נגדיר יחס \, \le על המחלקים על X באופן הבא: נאמר ש D_1 \le D_2 אם לכל \,1\le i \le n מתקיים \, c_i \le d_i. ניתן להראות שזהו יחס סדר חלקי על קבוצת המחלקים על X.

לדוגמה, אם \, x,y,z \in X הן נקודות על X, ו\,D_1 = x +2y, \,D_2 = 3x+4y+5z, אז מכיוון שהמקדם של כל נקודה ב\,D_1 קטן או שווה מהמקדם של כל נקודה ב\,D_2, הרי שD_1 \le D_2.

הגדרת המרחב (L(D[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מחלק D על משטח רימן קומפקטי X, מסמנים את שדה כל הפונקציות המרומורפיות על X ב \mathcal{M}(X). נשים לב ששדה הפונקציות המרומורפיות של X הוא מרחב וקטורי מעל שדה המספרים המרוכבים. נגדיר את המרחב (L(D שהוא תת-מרחב של שדה הפונקציות המרומורפיות באופן הבא:

\,L(D) = \{f \in \mathcal{M}(X)^{\times} : (f) \ge -D\} \cup \{0\}

כזכור, \,(f) הוא המחלק המתאים לפונקציה המרומורפית f. רק לפונקציות מרומורפיות השונות מפונקציית ה0 מתאים מחלק, ולפיכך יש להוסיף את פונקציית ה0 על מנת לקבל מרחב וקטורי.

נסביר כעת את משמעות ההגדרה. לשם כך, נניח כי \, y,z \in X הן נקודות בX, ונניח כי D = 3\cdot y -4\cdot z הוא מחלק על X. בדוגמה זו, המרחב \,L(D) יכיל את פונקציית ה0 וכן את כל הפונקציות המרומורפיות f \in \mathcal{M}(X)^{\times} כך שמתקיים (f) \ge -D = -3\cdot y +4 \cdot z בפרט, לכל נקודה \,x \in X כך ש\,x \ne y ו\, x\ne z מתקיים \,(f) (x) \ge 0. לפיכך לכל נקודה x כזאת, f הולומורפית בx. בנקודה y על f לקיים \,(f) (y) \ge -3, ולפיכך לf יכול להיות קוטב בנקודה זו, כאשר סדר הקוטב הוא לכל היותר 3. בנקודה z על f לקיים \,(f) (z) \ge 4, ולפיכך בנקודה זו יש לf אפס מסדר 4 לפחות. כל פונקציה f שהיא פונקציה מרומורפית על X ואשר מקיימת את התנאים הללו תהיה שייכת למרחב (L(D עבור D הנ"ל.

באופן כללי, התנאים של השתייכות למרחבי (L(D עבור פונקציה \, f \ne 0 הם תנאים מ3 הסוגים הבאים:

  1. עבור נקודות x שעבורן \,D(x) = 0, על f להיות הולומורפית בנקודה x.
  2. עבור נקודות x שעבורן \,D(x) = n > 0, בנקודה x לפונקציה f מותר שיהיה קוטב מסדר לכל היותר n.
  3. עבור נקודות x שעבורן \,D(X) = -n <0, בנקודה x לפונקציה f חייב להיות אפס מסדר n לפחות.

ניתן להראות כי (L(D הוא מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים. משפט רימן רוך מאפשר לחשב את המימד של (L(D.

משפט רימן רוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי X משטח רימן קומפקטי, D הוא מחלק על X וכי הגנוס של X הוא g. אי שוויון רימן נותן חסם תחתון למימד של (L(D על ידי: \dim L(D) \ge \deg D -g + 1

לעומת זאת, משפט רימן רוך מאפשר לחשב במדויק את המימד של (L(D באמצעות הנוסחה הבאה:

\, \dim L(D) = \dim \mathcal{H}^1(X,\mathcal{O}_D) + 1 -g +\deg D

כאשר \mathcal{H}^1(X,\mathcal{O}_D) היא קוהומולוגיית צ'ך הראשונה של האלומה \,\mathcal{O}_D.

האלומה \,\mathcal{O}_D[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהסתמך על הגדרת המרחב הווקטורי (L(D, בהינתן מחלק D על משטח רימן קומפקטי X, נגדיר אלומה שתסומן על ידי \mathcal{O}_D, אשר תאפשר להסיק מידע גלובלי ממידע מקומי על המרחב (L(D. בהינתן קבוצה פתוחה U \subseteq X נגדיר את \,\mathcal{O}_D(U) להיות אוסף הפונקציות המרומורפיות על U, שביחס לקבוצה הפתוחה U שייכות ל(L(D. בצורה מדויקת, ההגדרה היא:

\mathcal{O}_D(U) = \{f \in \mathcal{M}(U): (f) (x) \ge -D(x), \forall x \in U\} כאשר \,\mathcal{M}(U) מסמן את שדה הפונקציות המרומורפיות על U. נזכור כי U כתת-קבוצה פתוחה של משטח רימן היא בעצמה משטח רימן, ולכן יש למושג שדה הפונקציות המרומורפיות על U את משמעותו הרגילה. הומומוריפזמי הצמצום הם צמצומים רגילים של פונקציות. מכיוון ששייכות לקבוצה זו הוגדרה באמצעות תכונה מקומית, הרי שקל לוודא שאקסיומת ההדבקה מתקיימת וזוהי אכן אלומה של מרחבים וקטורים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]