משפט תאלס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, קיימים שני משפטים המכונים בשם משפט תָאלֵס, על שמו של תָאלֵס איש מילֵטוֹס.

המשפט הראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט תאלס הפשוט

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים. למשל, בציור שמשמאל, אם  DE \| BC , אז \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

על פי ערך משולש ניתן להגיע לשוויונות נוספים, כמו \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC} או \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}

הרחבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבה ראשונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבה ראשונה

כאמור, משפט תלס הפשוט מתייחס רק למקרה שבו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קודקוד הזווית. ההרחבה הראשונה קובעת שמשפט תלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קודקוד הזווית (כמו בציור שמשמאל).

הרחבה שנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההרחבה השנייה קובעת שגם היחס בין הקטעים שהזווית חותכת מהישרים המקבילים, שווה ליחס בין החלקים שהישרים המקבילים חותכים משוקי הזווית, כלומר \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט עצמו[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעבירים את \ BE ואת \ CD.

בוחנים את המשולש \ BDE ואת המשולש \ CDE.

בשני משולשים אלו, \ DE צלע, והגובה מ-\ B ל-\ DE שווה לגובה מ-\ C ל-\ DE. (כי DE\|BC)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר \ S_{BDE}=S_{CDE}

אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש \ ADE, מקבלים \ S_{ABE}=S_{ACD}

מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש \ ADE, ומקבלים \frac{S_{ABE}}{S_{ADE}}=\frac{S_{ACD}}{S_{ADE}}

מורידים גובה \ h_1 מ-\ E ל-\ AB, וגובה \ h_2 מ-\ D ל-\ AC.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל: 
\frac
{\frac{h_1AB}{2}}
{\frac{h_1AD}{2}}
=
\frac
{\frac{h_2AC}{2}}
{\frac{h_2AE}{2}}

לאחר צמצום, מקבלים: \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

הרחבה ראשונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעבירים את \ BE ואת \ CD.

בוחנים את המשולש \ BDE ואת המשולש \ CDE.

בשני משולשים אלו, \ DE צלע, והגובה מ-\ B ל-\ DE שווה לגובה מ-\ C ל-\ DE. (כי DE\|BC)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר \ S_{BDE}=S_{CDE}

אם מורידים משני האגפים את שטח המשולש \ ADE, מקבלים \ S_{ABE}=S_{ACD}

מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש \ ADE, ונקבל \frac{S_{ABE}}{S_{ADE}}=\frac{S_{ACD}}{S_{ADE}}

מורידים גובה \ h_1 מ-\ E ל-\ AB, וגובה \ h_2 מ-\ D ל-\ AC.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים: 
\frac
{\frac{h_1AB}{2}}
{\frac{h_1AD}{2}}
=
\frac
{\frac{h_2AC}{2}}
{\frac{h_2AE}{2}}

לאחר צמצום, מקבלים: \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

הרחבה שנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על הקטע \ BC, מסמנים נקודה \ M, כך ש-\ DE=MC. מכיוון ש-\ DE=MC וש-DE\|MC,‏ \ DECM מקבילית, ולכן DM\|EC

לכן, על פי משפט תלס, (כאשר מתייחסים לזווית \angle ABC) \frac{BC}{MC}=\frac{AB}{AD}

נציב\ DE=MC, ונקבל \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}

המשפט השני[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט תאלס: \ B היא זווית ישרה

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות \ A ,\ B ו-\ C מונחות על מעגל והקו \ AC עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית \ \angle ABC שווה לתשעים מעלות.

משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס בספרו, "יסודות", לתלס.

הוכחת משפט תלס

נסמן ב-\ O את מרכז המעגל. מכיוון שהנקודות \ A ,\ B ו-\ C מונחות על המעגל, מתקיים \ OA=OB=OC, ולכן המשולשים \ OAB ו-\ OBC שניהם שווי-שוקיים. לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל, \ \angle OBC=\angle OCB וכן \ \angle BAO=\angle ABO. נסמן את הזווית הראשונה באות \ \delta, ואת השנייה באות \ \gamma. סכום הזויות במשולש ABC הוא \ 2\delta+2\gamma=180^{\circ}, ואם נחלק את שני האגפים בשניים ונקבל \ \gamma+\delta=90^{\circ}.

ניסוח סימטרי והכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר-זווית. גם ההיפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:

משפט תלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זווית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזווית ההיקפית.

מקור השם[עריכת קוד מקור | עריכה]

השם לשני המשפטים ניתן במחצית השנייה של המאה ה-19 בצרפת ובאיטליה מחד ובגרמניה מאידך. באותה עת גברה ההתעניינות בהיסטוריה של המתמטיקה והתחקות אחר מקורותיה. לכך התחבר צורך דידאקטי: לתת שמות למשפטים שנחשבו מרכזיים בספרי הלימוד. בחירת שמות מתמטיקאים מהעת העתיקה ובפרט מיוון, ערש התרבות המערבית, עשוי היה להקנות ערכים של חשיבות ומסורת‏[1]. שני משפטים אלה ( או הקרובים להם מאוד ) הם מבין חמשת המשפטים הידועים כהשגיו של תאלס, אך אין עדויות לכך שהוכיח אותם.

הבחירת במשפטים שונים בצרפת ובגרמניה היא עדות לשוני בשתי המדינות בגישה לגאומטריה. הצרפתים הושפעו מסיפרו של אדריאן-מארי לז'נדר "יסודות בגאומטריה". לז'נדר הקדים את חקירת המעגל ( פרק שלישי בספר יסודות של אוקלידס) לחקירת המשולש והמקבילית ( פרק ראשון ושני ). הגאומטריה האפינית והגאומטריה הפרויקטיבית שהתפתחו באותה תקופה העמידו במרכז את היחסים בין קטעים בעוד שאצל אוקלידס הם מופיעים בפרק שש כדמיון משולשים. הפיכת סדר הפרקים הצביעה על שינוי מהותי בתפישה. לפיכך בחרו הצרפתים במשפט שדן ביחסים בין קטעים. הגרמנים דגלו בגאומטריה האוקלידית, הקפידו על הסדר שבספרו ומרכזיות משפט פיתגורס ולכן בחרו במשפט שמתחבר לנושא המשולש ( משולש התחום במעגל ).

מדינות שהושפעו מהגישה הצרפתית היו: ספרד, בלגיה ורוסיה. מדינות שהושפעו מהגישה הגרמנית היו: אוסטריה, הונגריה וצ'כוסלובקיה. עד שנות העשרים של המאה ה-20 סיפרי הלימוד ביוון בחרו בגישה הגרמנית ואז זו הוחלפה בגישה הצרפתית. באנגליה וארצות-הברית לא נעשה שימוש בשמו של תאלס למשפטים אלה באותה תקופה.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ מאמר באנגלית: משפט תאלס: מחקר על מתן שמות למשפטים בספרי גאומטריה לבתי הספר http://journals.tc-library.org/index.php/hist_math_ed/article/viewFile/189/184