משתמש:Crocodile2020/טיוטה/חישוב הספק המופק ממערכת הידרואלקטרית

חישוב הספק המופק ממערכת הידרואלקטרית

המושגים Hydropower ו- Waterpower הם שמות נרדפים ל-Hydroelectric Power שמשמעותו המרת אנרגיה שמקורה בתנועת מים לאנרגיה חשמלית. אנרגיית הכבידה של המים (אנרגיה פוטנציאלית) הנופלים מראש מפל מתורגמת לאנרגיה קינטית המניעה טורבינות בתחתיתו. בהנחה שלחץ האוויר בסביבת המפל אחיד (ושווה ללחץ האטמוספירי) נפעיל את חוק שימור האנרגיה על נפח בקרה המכיל את המים במפל ברגע נתון והמוקף במעטפת בקרה:

${\dot {Q}}-{\dot {W}}={\frac {d}{dt}}\int _{c.v.}(e_{p}+e_{k}+u)\rho d\forall +\int _{c.s.}(e_{p}+e_{k}+u)\rho {\hat {n}}\cdot {\vec {v}}dA$

כאשר:

${\dot {Q}}\left[\mathrm {w} \right]$ היא קצב כניסת אנרגיה חיצונית למערכת

${\dot {W}}\left[\mathrm {w} \right]$ הוא קצב העבודה (הספק) הנעשית על ידי מערכת המוגדרת על ידי המפל

${\vec {v}}=v(-{\hat {k}})$ וקטור מהירות המים הלוקלית

${c.s.}$ מעטפת הבקרה

${\hat {n}}=\left\{{\begin{array}{lr}-{\hat {k}},&z=0\\{\hat {k}},&z=\Delta h\end{array}}\right.$ וקטור יחידה הניצב למעטפת הבקרה

${c.v.}$ נפח הבקרה

$e_{p}\left[{\frac {\rm {J}}{kg}}\right]=gz\left[{\frac {m^{2}}{s^{2}}}\right]$ אנרגיית כבידה סגולית (אנרגיית כבידה ליחידת מסה)

$e_{k}\left[{\frac {\rm {J}}{kg}}\right]={\frac {1}{2}}v^{2}\left[{\frac {m^{2}}{s^{2}}}\right]$ אנרגיה קינטית סגולית (אנרגיה קינטית ליחידת מסה)

$u\left[{\frac {\rm {J}}{kg}}\right]=u\left[{\frac {m^{2}}{s^{2}}}\right]$ אנרגיה פנימית סגולית (אנרגיה פנימית ליחידת מסה)

$\rho \left[{\frac {kg}{m^{3}}}\right]$ היא צפיפות המים

בהנחה שאין מקור אנרגיה חיצוני המזין את המערכת יוצא ש- ${\dot {Q}}=0$ ו- $u=0$.

כאשר גובה המפל $\Delta h\left[m\right]$ אז $e_{p}+e_{k}=g\Delta h=constant$.

מכאן,

${\frac {d}{dt}}\int _{c.v.}(e_{p}+e_{k}+u)\rho d\forall =0$

בנוסף:

$v=\left\{{\begin{array}{lr}0,&z=\Delta h\\{\sqrt {2g\Delta h}},&z=0\end{array}}\right.$

ולכן:

$-{\dot {W}}=\int _{c.s.}(e_{p}+e_{k}+u)\rho {\hat {n}}\cdot {\vec {v}}dA=\Delta h\times g\times \rho vA=\Delta h\times g\times \rho vA=\Delta h\times g\times \rho {\dot {V}}=\Delta h\times g\times {\dot {M}}$

כאשר $A$ הוא שטח החתך הניצב לזרם המים במפל, ${\dot {V}}\left[{\frac {m^{3}}{s}}\right]$ היא הספיקה הנפחית ו- ${\dot {M}}\left[{\frac {kg}{s}}\right]$ היא הספיקה המסית שלו. בפועל נצילות המערכת אינה מושלמת והעבודה המופקת ממנה מהווה שבר מהנצילות המקסימלית. לפיכך:

${\dot {W}}_{out}=-\eta \Delta h\times g\times \rho {\dot {V}}A=-\eta \Delta h\times g\times {\dot {M}}$

כאשר ${0\leq \eta \leq 1}$ היא נצילות המערכת ו- ${\dot {W}}_{out}$ הוא קצב העבודה המופקת מהמפל.

לשם המחשה, הספק טורבינה בעלת נצילות של $85\%$ בגובה 145 $m$ המוּנעת על ידי מפל מים וספיקה נפחית של ${m^{3}}/{s}$ 80 בהנחת צפיפות מים של $kg/m^{3}$ 1000 ותאוצת כובד של $m/s^{2}$ 9.81 הוא ${\text{M}}{\mathrm {w} }$ 97 לפי החישוב הבא:

${\dot {W}}_{out}=-0.85\times 1000\ ({\text{kg}}/{\text{m}}^{3})\times 80\ ({\text{m}}^{3}/{\text{s}})\times 9.81\ ({\text{m}}/{\text{s}}^{2})\times 145\ {\text{m}}=-97\times 10^{6}{\mathrm {w} }=-97\ {\text{M}}{\mathrm {w} }$

מפעילי תחנות הידרואלקטריות ישוו את סך האנרגיה החשמלית המיוצרת עם האנרגיה הפוטנציאלית התאורטית של המים העוברים דרך הטורבינה כדי לחשב את היעילות שלה. נהלים והגדרות לחישוב היעילות מוצגים בקודי בדיקה כגון ASME PTC 18 ו- IEC 60041.