משתמש:Itaisarig/טיוטה

זרימה זוחלת (creeping flows ,stokes flows) היא זרימה בה השפעות איברי האינרציה במשוואות נאוויה-סטוקס זניחות ($Re<<1$) למרות שבשימושים הנדסיים ניתן להסתפק במספר ריינולדס גדול יותר $1<Re<3$.

בנוסף לכך שהצמיגות מצב זה קורא כאשר מימד האורך קטן יחסית או כאשר המהירות איטית יחסית. זרימה זוחלת נחקרה לראשונה כשנוצר צורך במידול של שימון, אך ישנן בטבע הרבה סוגי זרימות לדוגמה עבור שחיה של מיקרו אורגניזמים, זרע, וזרימת לבה. בנוסף לכך בהנדסה זרימה כזאת מתרחשת בצביעה, מכשירי MEMS וזרימה צמיגה של פולימרים.

חשוב לציין כי זרימת סיכה היא זרימה זוחלת בתוך תווך אשר לו כיוון אחד בעל גודל אופייני הקטן בסדר גודל משאר הכיוונים.

משוואות סטוקס

את משוואות התנועה עבור של זרימת סטוקס ניתן לקבל ע"י ביצוע ליניאריזציה של משוואות נאוויה-סטוקס במצב מתמיד. ניתן להזניח את איברי האינרציה ולקבל את מאזן המומנטום של משוואות סטוקס:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbb {P} +\mathbf {f} =0$

כאשר $\scriptstyle \mathbb {P}$ הינו טנזור מאמצים המייצג את הצמיגות והלחצים ו math>\scriptstyle \mathbf{f}</math> הינו כוחות הגוף הפועלים על הזרימה.

משוואת סטוקס המלאה כוללת בתוכה גם את החוק שימור המסה:

${\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0$

כאשר $\scriptstyle \rho$ הוא צפיפות הנוזל, $\scriptstyle \mathbf {u}$ הינה מהירות הנוזל ו$\scriptstyle {\frac {D}{Dt}}$ היא הנגזרת המלווה. ע"מ לקבל את המשוואה עבור זורמים בלתי דחיסים, $\scriptstyle \rho$ קבוע ולכן הנגזרת שלו שווה לאפס וניתן לצמצמו מהאיבר השני של המשוואה.

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

מאפיינים

משוואות סטוקס מייצוגת פישוט ניכר ממשוואות נאוויה סטוקס, במיוחד עבור המקרה של זורמים בלתי דחיסים וניוטונים. בהם הסדר המוביל הינו הצמיגות עבור הגבול $Re\to 0.$.

תלות-בזמן

משוואות אלה אינן תלויות בזמן ולכן גם הפתרון לא יהיה תלוי בו אלא אם כן תנאי השפה הם תלויי זמן.

פרדוקס סטוקס

מאפיין מעניין של זרימת סטוקס הידוע בתור פרדוקס סטוקס: זרימת סטוקס של נוזל סביב דיסק בשני מימדים או באופן שקול פתרון טריוואלי של זרימת סטוקס סביב גליל אינסופי.

זרימה בלתי דיחסה של זורמים ניוטונים

באופן כללי המקרה של משוואת סטוקס של זורמים ניוטונים בלתי דחיסים היא:

${\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &=0\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}$

יש לציין שמדובר בהצגה הוקטורית כמובן.

כאשר $\scriptstyle {u}$, מייצג את המהירות של הזורם, $\scriptstyle {\boldsymbol {\nabla }}p$ את גראדיאנט הלחצים, $\scriptstyle \mu$ את הצמיגות, ו$\scriptstyle \mathbf {f}$ מייצג את כוחות הגוף. התוצאה ממשוואה זו היא ליניאריות המהירות והלחץ, וכמובן שמדובר ביתרון גדול מאוד עבור פותרי המשוואה.

קורדינטות קרטזיות

כאשר $\scriptstyle \mathbf {u} =(u,v,w)$ ו- $\scriptstyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$ נוכל לפתוח את הצורה הוקטורית של המשוואות לשלוש משוואות הבאות:

${\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}$

הגענו למשוואות אלה לאחר שהנחנו ש $\scriptstyle \mathbb {P} ={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T})-p\mathbb {I}$ והצפיפות $\rho$ היא קבועה.

שיטות לפתרון

שימוש בפונקציית זרם

המשוואה עבור זורמים ניוטונים בלתי דחיסים ניתן לפתור את המשוואה ע"י פונקציית זרם. מתודה שניתן להשתמש בה במישור או במרחב התלת מימדי.

סוג הפונקציה	גיאומטריה	משוואה
פונקצית זרם $(\psi )$	דו מימדי, מישורי	$\nabla ^{4}\psi =0$ או $\Delta ^{2}\psi =0$ (משוואה בי-הרמונית)
פונקציית הזרם של סטוקס $(\Psi )$	קואורדינטות כדוריות, 3 מימדי	$E^{2}\Psi =0,$ כאשר $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)$
[[פונצקיית הזרם של סטוקס $(\Psi )$	3-D cylindrical	$L_{-1}^{2}\Psi =0,$ where $L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}$

שימוש בפונקציית גרין: הסטוקסלט

הליניאריזציה של משוואת סטוקס בזורמים ניוטונים בלתי דחיסים גורמת לכך שניתן למצוא את פונקציית גרין. ניתן למצוא את פונקציית גרין ע"י פתרון משוואות סטוקס עם אילוץ המוחלף בכוח נקודתי הפועל במקור, ותנאי השפה נעלמים באינסוף.

${\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}$

כאשר $\mathbf {\delta } (\mathbf {r} )$ הוא פונקציית דירא, ו-$\mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )$ מייצג את הכוח הנק' הפועל במקור. הפתרון עבור הלחץ p והמהירות u עם |u| וp שואף לאפס באינסוף וניתן ע"י

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}$

כאשר: $\mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)$ הוא טנזור מסדר שני.

המינוח של פתרןו הסטוקלט והכוח הנקודתי משמש לתיאור $\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )$. ניתן להקביל זאת לאלקטרוסטטיקה, הסטוקלט הוא כוח חופשי בכל מקום חוץ מבמקור, אשר שם הוא כולל את הכוח (או המאמץ) $\mathbf {F}$.

עבור פילוג כוח (כוח מפורס) $\mathbf {f} (\mathbf {r} )$ הפתרון הוא (שוב שואף לאפס באינסוף) יכול להמצא ע"י סופרפוזיציה:

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} (\mathbf {r'} )\cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} (\mathbf {r'} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'}$

האינטגרל מייצג את המהירות כפי שהיא יכולה להיות נצפית כהורדת סדר, כלומר משלושה מימדים לאינטגרל כפול (דו מימדי).

פתרונות נוספים:

הפתרון של פפוביץ-ניבר (Papkovich–Neuber solution) הפתרון ע"י נומריקה

לקריאה נוספת:

• חוק סטוקס
• זרימה למינרית
• תורת הסיכה

הערות שוליים

• Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1.

קישורים חיצוניים

• Video demonstration of time-reversibility of Stokes flow by UNM Physics and Astronomy

• קטגוריה:Fluid dynamics
• קטגוריה:Equations of fluid dynamics