משתמש:Marcus Guy/פיזור ריילי מאליפסואיד

כיתוב תמונה

בפיזור אלקטרומגנטי, פיזור ריילי מאליפסואיד הוא התיאור האנליטי האלמנטרי של פיזור הקרינה האלקטרומגנטית מחלקיק כללי (בעל אורך, רוחב ועובי מסוימים), תחת הקירוב הקוואזי-סטטי. הנחת הקירוב הקוואזי-סטטי מתקיימת כאשר ממדי החלקיק קטנים בהרבה מאורך הגל המוקרן. במקרה זה, פתרון של משוואות מקסוול מנבא התנהגות של החלקיק כדיפול חשמלי שבתורו קורן לכל הכיוונים בשדה הרחוק. מקרה נפוץ של תופעה זו הוא פיזור קרני השמש דרך החלקיקים המרכיבים את האטמוספירה של כדור הארץ, שממדיהם בדרך כלל בתחום הננומטרי והמיקרומטרי (ולכן כאשר השמש קורנת לכיוונם בין השאר בתחום האור הנראה, מתפזר חלק מהאור והשמיים נצבעים). החלקיק (החלק) הכללי ביותר בעל צורה רגולרית הוא האליפסואיד, ולכן גאומטריה זו מהווה את הבסיס לתיאור אנליטי מלא של הפיזור מחלקיק תחת תנאי המודל.

פיזור אלקטרומגנטי והקירוב הקוואזי-סטטי

הפיזור האלקטרומגנטי הוא אחת התופעות הפיזיקליות המרכזיות המאפשרות את ראייתם של עצמים. תיאור אנליטי מלא של הפיזור האלקטרומגנטי מתקבל מפתרון משוואות מקסוול תוך שמירה על תנאי הרציפות של השדה האלקטרומגנטי בין חומרים בעלי מקדמי שבירה שונים. במקרה של חלקיק מפזר שממדיו קטנים משמעותית בהשוואה לאורך הגל המוקרן, ניתן להניח שאין הפרשי פאזה בסביבת החלקיק כך שהשדה באזור זה אחיד בקירוב. קירוב זה נקרא הקירוב הקוואזי-סטטי וכאשר הוא מתקיים ניתן לנתח את בעיית הפיזור על ידי שיקולים אלקטרוסטטיים.

מודל עבור אליפסואיד

החלקיק הכללי הפשוט ביותר בעל צורה רגולרית הוא האליפסואיד, שמשוואת שטח פניו היא ${\frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac {{y}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}}{{c}^{2}}}=1$ כאשר $\ a,b,c$ הם קבועי האליפסואיד (עבור אליפסואיד כללי מתקיים, בה"כ, $a>b>c$). למבנה זה ישנם שלושה מקרים פרטיים מיוחדים: כדור, ספרואיד אובלי וספרואיד פרובלי. במקרה של כדור, המודל (תחת הקירוב הקוואזי-סטטי) פשוט אך ניתן להכללה על ידי תאוריית מיי עבור חלקיקים כדוריים שקוטרם מסדר גודל דומה לזה של אורך הגל הפוגע. כאשר החלקיק אובלי, ניתן לקרבו כמקרה פרטי של ספרואיד עד כדי קירוב לדיסקה כמקרה קצה. המקרה הפרטי השלישי בדרך כלל יותר מעניין, כיוון שהפיתוח האנליטי עבור מקרה זה מהווה קירוב גיאומטרי למוט, גוף מרחבי בעל יישומים טכנולוגיים שימושיים בתור מבנה ננומטרי מתכתי.

הפיתוח עבור אליפסואיד כללי

כיתוב תמונה

מקובל לסמן את המקדם הדיאלקטרי של המרחב בו נמצא האליפסואיד ב- ${{\varepsilon }_{m}}$, ואת המקדם הדיאלקטרי של האליפסואיד ב- $\varepsilon$. אם ברגע ${{t}_{0}}$ מקרינים את החלקיק באורך גל $\lambda$ כך שהשדה החשמלי הנוצר בהשפעת ההקרנה אחיד בסביבת החלקיק ובה"כ מתקיים ${\vec {E}}\left({{t}_{0}};\left|{\vec {r}}\right|\ll \lambda \right)\approx {{E}_{0}}{\hat {z}}$, אזי ביחס לנקודת פוטנציאל אפס שרירותית כלשהי, הפוטנציאל החשמלי משדה זה עבור $z>0$ הוא ${{V}_{0}}=-{{\vec {E}}_{0}}\cdot {\vec {r}}=-{{E}_{0}}r\cos \left(\theta \right)$.

כאשר החלקיק בעל גאומטריה של אליפסואיד, הפתרונות למשוואת לפלס בקואורדינטות אליפסואידליות מתארים בצורה נוחה את הפוטנציאל החשמלי הכולל מחוץ לחלקיק ובתוכו. תחת תנאי הרציפות של הפוטנציאל החשמלי ושל הרכיב הנורמלי של שדה ההעתקה החשמלי, ניתן להראות כי קיימים שני פתרונות למשוואת לפלס בקואורדינטות אליפסואידליות:

${\begin{matrix}{{\nabla }^{2}}V=\left(\eta -\zeta \right)\Phi \left(\xi \right){\frac {d}{d\xi }}\left(\Phi \left(\xi \right){\frac {dV}{d\xi }}\right)+\left(\zeta -\xi \right)\Phi \left(\eta \right){\frac {d}{d\eta }}\left(\Phi \left(\eta \right){\frac {dV}{d\eta }}\right)+\left(\xi -\eta \right)\Phi \left(\zeta \right){\frac {d}{d\zeta }}\left(\Phi \left(\zeta \right){\frac {dV}{d\zeta }}\right)=0\\\left\{{\text{ }}\Phi \left(\varphi \right)={\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}{\text{ }}\right\}\\\end{matrix}}$

עבור המרחב הכלוא על ידי מעטפת החלקיק (תחת התנאי הפיזיקלי ${{V}_{in}}<\infty$), מתקבל הפתרון-

${{V}_{in}}=-{\frac {{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}r\cos \left(\theta \right)}{{{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}}}$

ומחוץ לחלקיק (תחת התנאי האסימפטוטי ${\underset {\xi \to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{{V}_{out}}={{V}_{0}}=-{{E}_{0}}r\cos \left(\theta \right)$) הפתרון המתקבל הוא-

${{V}_{out}}=-\left(1+{\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right)}{2\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right)}}\int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}\right){{E}_{0}}r\cos \left(\theta \right)$

כאשר ${{L}_{z}}$ הוא מאפיין גיאומטרי של האליפסואיד המוקרן (במקרה הזה בכיוון ${\hat {z}}$) שערכו מחושב על ידי ${{L}_{z}}={\frac {abc}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{{\frac {1}{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}d\varphi }$, ו- $\xi$ נתון בקשר הטרנספורמציה ${\frac {{x}^{2}}{{{a}^{2}}+\xi }}+{\frac {{y}^{2}}{{{b}^{2}}+\xi }}+{\frac {{z}^{2}}{{{c}^{2}}+\xi }}=1$ כך שעבור $\xi \gg {{a}^{2}}$ מתקיים $\xi \approx {{r}^{2}}$ (כלומר, ${{r}^{2}}\gg {{a}^{2}}$).

במקרה שמתקיים תנאי הקירוב הקוואזי-סטטי, ההנחה כי ${{r}^{2}}\gg {{a}^{2}}$ תקפה, וניתן לפשט את הביטוי שהתקבל עבור הפוטנציאל החיצוני הכולל:

$\int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{\left({{c}^{2}}+\varphi \right){\sqrt {\left(\varphi +{{a}^{2}}\right)\left(\varphi +{{b}^{2}}\right)\left(\varphi +{{c}^{2}}\right)}}}}\approx \int \limits _{\xi }^{\infty }{\frac {d\varphi }{{\varphi }^{2.5}}}={\frac {2}{3}}{{\xi }^{-1.5}}={\frac {2}{3{{r}^{3}}}}\Rightarrow {{V}_{out}}=-\left(1+{\frac {abc\left({{\varepsilon }_{m}}-\varepsilon \right)}{3\left({{\varepsilon }_{m}}+\left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}\right){{L}_{z}}\right){{r}^{2}}}}\right){{E}_{0}}\cos \left(\theta \right)$

כך שניתן להציג את הפוטנציאל החיצוני הכולל כסכום של הפוטנציאל החיצוני ${{V}_{0}}=-{{E}_{0}}r\cos \left(\theta \right)$ (מהשדה המוקרן) ושל הפוטנציאל ${{V}_{p}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}}{\vec {p}}\cdot {\hat {r}}$ מהחלקיק שמתנהג כעת כדיפול בעל המומנט ${\vec {p}}={\frac {\nu {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}}{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}{\hat {z}}$ כאשר $\nu ={\frac {4\pi }{3}}abc$ הוא נפח החלקיק. ניתן לראות כי אכן מתקיים ${{V}_{out}}={{V}_{0}}+{{V}_{p}}$. בהתאם לאפיון הנ"ל, מומנט דיפול זה מגדיר את הפולריזביליות הדיפולית של החלקיק לפי הקשר ${\vec {p}}={{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}\alpha {\vec {E}}$, כך שבמקרה של אליפסואיד $\alpha ={\frac {\nu }{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}$.

ובכן, השדה החשמלי החיצוני הנתון מהאור המוקרן איננו קבוע כי אם מתנדנד, ולכן במקרה זה האוסצילציות של השדה החשמלי החיצוני ${\vec {E}}\left(t;\left|{\vec {r}}\right|\ll \lambda \right)\approx {{E}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}$ תגרומנה לאוסצילציות במומנט הדיפול ${\vec {p}}={\frac {\nu {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}}{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}$. מהתבוננות בביטוי עבור מומנט הדיפול ניתן ללמוד כי בתנאים מסוימים יכולה להתקבל תהודה פלסמונית מקומית, כאשר המכנה בביטוי זה מינימלי. במקרה של חלקיקים כדוריים תנאי זה נקרא תנאי פרליך וקיומו מנבא (בחומרים מסוימים) תהודה בערך עבור מומנט הדיפול. במקרה של חלקיקים שאינם כדוריים (למשל, מוט זעיר), יוכלו להתקבל כמה מצבי תהודה, עבור כל ממד גאומטרי של החלקיק. עבור חלקיק בדמות אליפסואיד כללי, קיומו של התנאי המקביל לתנאי פרליך (עבור חלקיים לא כדוריים) יאפשר $3$ מצבי תהודה שונים עבור כל אחד מצירי האליפסואיד.

מקרים פרטיים מיוחדים

המודל לעיל מכליל מקרים פרטיים נפוצים יותר כגון כדור, מוט וכדומה. סיווגם הגאומטרי של החלקיקים תלוי ביחסים בין צירי האליפסואיד, שקובעים את ערכו של הגורם הגאומטרי ${{L}_{n}}$. כאמור, ישנם $3$ גורמים גאומטריים, עבור כל אחד מצירי האליפסואיד. אולם, רק $2$ מהם בלתי תלויים והסכום של שלושתם קבוע ושווה ל- ${{L}_{x}}+{{L}_{y}}+{{L}_{z}}=1$ (כאשר ${{L}_{x}}$, ${{L}_{y}}$, ו- ${{L}_{z}}$ הם הגורמים הגאומטריים עבור כל ציר).

ובכן, שלושה מקרים פרטיים מיוחדים אשר המודל לעיל מכליל הם הכדור, הספרואיד האובלי והספרואיד הפרובלי.

במקרה של חלקיק כדורי, אין צורך לחשב את הגורמים הגאומטריים כאשר ידוע ${{L}_{x}}+{{L}_{z}}+{{L}_{z}}=1$, שהרי מטעמי סימטריה ${{L}_{x}}={{L}_{z}}={{L}_{z}}={\frac {1}{3}}$ ולכן $\alpha =3\nu {\frac {\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}{\varepsilon +2{{\varepsilon }_{m}}}}$, ללא תלות ברדיוס החלקיק, ותנאי פרליך מנבא תהודה פלסמונית יחידה בתדר ההקרנה עבורו הביטוי $\left|\varepsilon +2{{\varepsilon }_{m}}\right|$ מינימלי. בניגוד למקרה של כדור, בשאר המקרים ישנה משמעות רבה לגודלו של $a$ (ושל שאר צירי האליפסואיד) לגבי האופי הדיפולי של החלקיק (למשל, התנאים להיווצרותה של תופעת התהודה הפלסמונית המקומית תלויים ביחסים בין אורכו, רוחבו ועוביו של החלקיק).

במקרה של ספרואיד אובלי, אם $a=b$ אזי מתקבל ${{L}_{x}}=\left(\left({\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {ac}{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}}\right)\right)a-{\frac {c}{\sqrt {{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}}}\right){\frac {c{{a}^{2}}}{2{{\left({{a}^{2}}-{{c}^{2}}\right)}^{1.5}}}}$. מטעמי סימטריה ברור כי ${{L}_{y}}={{L}_{x}}$ ולכן- ${{L}_{z}}=1-2{{L}_{x}}$. ממילא, בגבול של הקירוב לדיסקה ($a=b\gg c$) מתקבל ${{L}_{x}}={{L}_{y}}\approx {\frac {\pi c}{4a}}$ ו- ${{L}_{z}}\approx 1-{\frac {\pi c}{2a}}$. בכל מקרה, ניתן לראות כי קיימת תלות בין ממדי החלקיק לבין האפיון הדיפולי שלו, בהתאם ליחסים בין ממדיו.

אם לחלקיק באורך $2a$ גאומטריה של ספרואיד פרובלי (למשל, אובואיד בדמות מוט), מתקיים $b=c$ ובמקרה כזה ${{L}_{x}}=\left(\ln \left({\frac {a+{\sqrt {{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}}{a-{\sqrt {{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}}}\right)-1\right){\frac {a{{b}^{2}}}{2{{\left({{a}^{2}}-{{b}^{2}}\right)}^{1.5}}}}$.הפעם משיקולי סימטריה מתקיים ${{L}_{y}}={{L}_{z}}={\frac {1-{{L}_{x}}}{2}}$. אם לחלקיק גאומטריה של מוט זעיר אך מספיק ארוך (ביחס לרדיוס החתך) כדי להניח $a\gg b=c$, התלות של הגורם הגאומטרי בממדיו נעשית פשוטה יותר כך שבקירוב ${{L}_{x}}\approx {\frac {{b}^{2}}{{a}^{2}}}\ln \left({\frac {2a}{eb}}\right)$ ו- ${{L}_{y}}={{L}_{z}}\approx {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {{b}^{2}}{{a}^{2}}}\ln \left({\frac {2a}{eb}}\right)\right)$.

קרינה שניונית

השמים נראים בגוון כחול כאשר השמש קורנת לכיוונם בין השאר בתחום האור הנראה. הקרינה המתפזרת היא הקרינה השניונית ביחס לקרינה המקורית המגיעה מהשמש.

כפי שמנבא פתרון של משוואות מקסוול, חלקיק בקירוב הקוואזי-סטטי המפזר קרינה בתהליך אלסטי מדמה מקור קרינה נוסף, הקורן לכל הכיוונים. קרינה זו נקראת קרינה שניונית (או קרינה דיפולית שניונית, במקרה של דיפול), והספק הקרינה המתקבל ממנה מאפשר לזהות את ההפרעה של החלקיק המפזר. באופן כללי, השדה החשמלי הבוקע מהדיפול המתנדנד הוא:

${{\vec {E}}_{p}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}}}\left({{k}^{2}}\left({\hat {r}}\times {\vec {p}}\right)\times {\hat {r}}{\frac {{e}^{ikr}}{r}}+\left(3{\hat {r}}\left({\hat {r}}\cdot {\vec {p}}\right)-{\vec {p}}\right)\left({\frac {1}{{r}^{3}}}-{\frac {ik}{{r}^{2}}}\right){{e}^{ikr}}\right)$

כאשר $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ הוא מספר הגל.

קרוב מאוד לפני החלקיק, עוצמת השדה גבוהה במיוחד. בכל מקרה, שדה זה דועך יחסית מהר והרחק מהחלקיק השדה החשמלי המתקבל כאשר ${\vec {p}}={\frac {\nu {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{m}}{{E}_{0}}}{{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}$ הוא ${{\vec {E}}_{p}}=-{\frac {{{k}^{2}}\nu {{E}_{0}}}{4\pi \left({{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}\right)r}}{\hat {z}}{{e}^{i\left(kr-\omega t\right)}}$.

ממילא, הספק הקרינה האלקטרומגנטית הוא-

$P=\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{\pi }{{\frac {{\left|{{\vec {E}}_{p}}\right|}^{2}}{2{{\eta }_{0}}}}{{r}^{2}}\sin \left(\theta \right)d\theta d\phi }}={\frac {{{k}^{4}}{{\nu }^{2}}E_{0}^{2}}{8\pi {{\eta }_{0}}{{\left|{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}\right|}^{2}}}}$

ולכן חתך הפעולה לפיזור הקרינה השניונית נתון על ידי-

${{C}_{sca}}={\frac {P}{{{\left|{\vec {E}}\right|}^{2}}/2{{\eta }_{0}}\ }}={\frac {{\nu }^{2}}{4\pi {{\left|{{L}_{z}}+{\frac {{\varepsilon }_{m}}{\varepsilon -{{\varepsilon }_{m}}}}\right|}^{2}}}}{{k}^{4}}$

כאשר ${\vec {E}}={{E}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}{\hat {z}}$ הוא רכיב השדה החשמלי של אותו האור בו מקרינים את החלקיק.

ניתן ללמוד מביטוי זה על האופי הקרינתי של חלקיקים קטנים. חתך הפעולה לפיזור ריילי מקיים את היחס ${{C}_{sca}}\propto {{k}^{4}}\propto {\frac {1}{{\lambda }^{4}}}$ כאשר $\lambda$ הוא כאמור אורך הגל המוקרן. מכאן שגלים אלקטרומגנטיים בעלי אורך גל קצר נוטים להתפזר יותר מאשר גלים בעלי אורך גל ארוך. זו הסיבה שהשמים נראים לנו במשך רוב שעות היום ככחולים, שכן לצבע הכחול אורך הגל הקצר ביותר בספקטרום הנראה, ועל כן נוטה להתפזר במעבר דרך האטמוספירה של כדור הארץ. ממילא צבע השמש והאור העובר את האטמוספירה נראים בצבע צהוב, שהוא אינו אלא האור הלבן שדולל ממנו חלק מאורכי הגל הכחולים.

ראו גם

• פיזור
• חתך פעולה
• פיזור ריילי
• קרינה אלקטרומגנטית
• ננו-חלקיק
• ננו חלקיקי זהב

לקריאה נוספת

• Craig F. Bohren, Donald R. Huffman (1983) Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley
• Stefan Alexander Maier (2007) Plasmonics, Fundamental and Applications, Springer
• David K. Cheng (1989) Field and Wave Electromagnetics, Addison-Wesley
• Uwe Kreibig, Michael Vollmer (1995) Optical Properties of Metal Clusters, Springer

קישורים חיצוניים

שגיאות פרמטריות בתבנית:קישור כללי
פרמטרים [ פורמט ] לא מופיעים בהגדרת התבנית פרהן רנה, פיזור אלקטרומגנטי, ‏2007 (באנגלית)