נוסחאות ויאטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה, נוסחאות ויאטה, הקרויות על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט הן נוסחאות פשוטות שמקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו המרוכבים.

עבור פולינום מהצורה , עם שורשים , כולל שורשים כפולים, מתקיים:

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

לדוגמה, מתקיים:

בפרט, עבור פולינום ממעלה שנייה , מתקיים:

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

כאשר A היא המטריצה ו-xj הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]