נוסחאות ויאטה

באלגברה, נוסחאות ויאטה, הקרויות על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט הן נוסחאות פשוטות שמקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו המרוכבים.

עבור פולינום מהצורה $\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \dots+a_1x+a_0$, עם שורשים $\ x_1 , x_2, \dots , x_n$, כולל שורשים כפולים, מתקיים:

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

$\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

לדוגמה, מתקיים:

$\ \sum\limits_{j=1}^n x_j = \frac{-a_{n-1}}{a_n} \quad , \quad \prod\limits_{j=1}^n x_j = \frac{(-1)^na_0}{a _n}$

בפרט, עבור פולינום ממעלה שנייה $\ p(x) = ax^2 + bx + c$, מתקיים:

$\ -\frac{b}{a} = x_1 + x_2 \ ; \ \frac{c}{a} = x_1 \cdot x_2$

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

$\ \sum\limits_{j=1}^n x_j = \mathrm{tr}(A) \quad , \quad \prod\limits_{j=1}^n x_j = \det(A)$

כאשר A היא המטריצה ו-x_j הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.