מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה , נוסחאות ויאטה , הקרויות על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו המרוכבים .
עבור פולינום מהצורה
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle \ p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle \ x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
{
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
(
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
.
.
.
+
x
1
x
2
x
n
)
+
(
x
1
x
3
x
4
+
x
1
x
3
x
5
+
.
.
.
+
x
1
x
3
x
n
)
+
.
.
.
+
(
x
2
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
5
+
.
.
.
+
x
2
x
n
−
1
x
n
)
+
.
.
.
.
.
+
x
n
−
2
x
n
−
1
x
n
=
−
a
n
−
3
a
n
⋮
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+...+x_{1}x_{2}x_{n})+(x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{5}+...+x_{1}x_{3}x_{n})+...+(x_{2}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{5}+...+x_{2}x_{n-1}x_{n})+.....+x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-{\frac {a_{n-3}}{a_{n}}}{}\quad \\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
הנוסחה לכל אחד ואחד היא:
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
k
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}^{n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
לדוגמה, מתקיים:
∑
j
=
1
n
x
j
=
−
a
n
−
1
a
n
,
∏
j
=
1
n
x
j
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
{\displaystyle \ \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\quad ,\quad \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a_{n}}}}
בפרט, עבור פולינום ממעלה שנייה
p
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \ p(x)=ax^{2}+bx+c}
−
b
a
=
x
1
+
x
2
;
c
a
=
x
1
⋅
x
2
{\displaystyle \ -{\frac {b}{a}}=x_{1}+x_{2}\ ;\ {\frac {c}{a}}=x_{1}\cdot x_{2}}
מאחר שעבור כל מטריצה , הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני , לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:
∑
j
=
1
n
x
j
=
t
r
(
A
)
,
∏
j
=
1
n
x
j
=
det
(
A
)
{\displaystyle \ \sum \limits _{j=1}^{n}x_{j}=\mathrm {tr} (A)\quad ,\quad \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}=\det(A)}
כאשר A היא המטריצה ו-xj הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה , המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.
ספר לימוד בוויקיספר: