נוסחת אוילר-מקלורן

נוסחת אוילר–מקלורן היא נוסחה, המחשבת את ההפרש בין אינטגרל מסוים והטור שקשור אליו.
ניתן להשתמש בה לחישובי קירובים לאינטגרלים מסוימים על ידי סכומים סופיים, או להערכת סכומים סופיים וסדרות אינסופיות באמצעות אינטגרלים ומכונות החשבון האינפיניטסימלי.
לדוגמה, הרחבות אסימפטומטיות רבות נגזרות מהנוסחה, ונוסחת ברנולי לסכום חזקות של מספרים עוקבים היא תוצאה מיידית.

הנוסחה התגלתה באופן עצמאי על ידי המתמטיקאים לאונרד אוילר וקולין מקלורן בסביבות 1735. אוילר נזקק לה לצורך חישוב סדרות אינסופיות המתכנסות באטיות, בעוד שמקלורן השתמש בה לחישוב אינטגרלים.
מאוחר יותר הנוסחה הוכללה לנוסחת דארבו (על שם המתמטיקאי ז'אן גסטון דארבו) מפני ששניהם לא הצליחו לבטא את שארית השגיאה.

רקע תאורטי

אינטגרל מסוים כשטח תחת הגרף בין [a,b].

אינטגרל מסוים $I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ מחשב את השטח תחת הגרף של פונקציה אינטגרבילית $f(x)$.
לשם קבלת קירוב לשטח המדובר נחלק את השטח למלבנים קטנים, כאשר לכל מלבן:

• פאתו האופקית היא תת־קטע של הקטע $[a,b]$.
• פאתו האנכית היא ערך הפונקציה באחד הערכים של תת־קטע זה.

בעזרת השיטה הזאת – שיטת סכומי דארבו – ניתן להגדיר אינטגרל מסוים.

אנחנו נתמקד רק בקירוב שיצרנו ובמקרה בו $a,b$ מספרים שלמים.
במקרה הזה נחלק את הקטע $[a,b]$ לתת־קטעים $[x,x+1]$, כאשר $x=a,a+1,\ldots ,b-1$.

• אם נבחר בכל תת־קטע לחשב את גובה המלבן בערך $x$, אזי נקבל את הסכום $\sum _{x\,=\,a}^{b-1}f(x)$.
• אם נבחר בכל תת־קטע לחשב את גובה המלבן בערך $x+1$, אזי נקבל את הסכום $\sum _{x\,=\,a+1}^{b}\!\!f(x)$.

הנוסחה

אם $a,b$ הם מספרים טבעיים ו־$f(x)$ היא פונקציה ממשית או מרוכבת רציפה לכל מספר ממשי $x\in (a,b)$, אזי האינטגרל:

$I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$

ניתן לקירוב לפי הטור (או הטור לפי האינטגרל):

$$S=f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(b-1)+f(b)=\!\sum _{x\,=\,a+1}^{b}\!\!f(x)$$

נוסחת אוילר–מקלורן נותנת בצורה מפורשת את ההפרש בין הטור $S$ ובין האינטגרל $I$, בעזרת הנגזרות של $f(x)$.

משמעות הנוסחה היא, שעבור פונקציה $f(x)$ הגזירה ברציפות $p\in \mathbb {N}$ פעמים בקטע $[a,b]$, מתקיים:

$$S-I=\sum _{k\,=\,1}^{p}{\frac {B_{k}}{k!}}{\bigl [}f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a){\bigr ]}+R_{p}$$

כאשר $B_{k}$ הוא מספר ברנולי ה־$k$, וכן $R_{p}$ הוא שארית השגיאה התלויה בערכים $a,b,p$.

מתקיים כי

$B_{2k-1}={\begin{cases}0.5&:\!k=1\\0&:\!k>1\end{cases}}$

לכן הנוסחה ניתנת לביטוי גם בצורות הבאות:

$$\sum _{i\,=\,a}^{b}f(i)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k\,=\,1}^{\lfloor 0.5p\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}{\bigl [}f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a){\bigr ]}+R_{p}$$

או לחלופין

$$\sum _{i\,=\,a+1}^{b}\!\!f(i)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(b)-f(a)}{2}}+\sum _{k\,=\,1}^{\lfloor 0.5p\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}{\bigl [}f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a){\bigr ]}+R_{p}$$

שארית השגיאה

$$R_{p}=(-1)^{p+1}\!\int \limits _{a}^{b}f^{(p)}\!(x)\,{\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx$$

כאשר ${P_{k}}(x)=B_{k}(x-\lfloor x\rfloor )$ וכן $B_{k}$ הוא פולינום ברנולי.

קישורים חיצוניים

• נוסחת אוילר-מקלורן, באתר MathWorld (באנגלית)