נוסחת האינטגרל של קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, נוסחת האינטגרל של קושי היא נוסחה מרכזית, המתארת פונקציה הולומורפית בעיגול באמצעות הערכים שהיא מקבלת על שפת העיגול. הנוסחה ניתנת להכללה גם אל הנגזרות של פונקציה כזו.

את נוסחת האינטגרל של קושי מוכיחים באמצעות משפט האינטגרל של קושי. מהוכחת הנוסחה נובע בין היתר כי כל פונקציה הולומורפית היא פונקציה אנליטית - בעלת אינסוף נגזרות וניתנת לפיתוח לטור חזקות. כמו כן נובעים ממנה משפטים חשובים דוגמת משפט ליוביל.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ U קבוצה פתוחה במישור המרוכב. תהא \ f:U\rarr\mathbb{C} פונקציה הולומורפית ב-\ U ויהא \ D=\left\{z|\left|z-z_0\right|\le R\right\} עיגול המוכל בקבוצה \ U, ונסמן ב- \ \partial D את שפת העיגול. אז f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz , כאשר מגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.

ניתן להרחיב את הנוסחה לכל הנגזרות של \ f: f^{(n)}(z_0) = {n! \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over (z-z_0)^{n+1}}\, dz.

למעשה, על פי משפט האינטגרל של קושי, המשפט תקף לא רק בעבור מעגלים אלא גם בעבור עקומים פשוטים סגורים כלשהם (כאשר הנקודה \ z_0 נמצאת בתוך התחום המוגדר על ידי המסילה). כמו כן, די לדרוש כי הפונקציה תהיה הולומורפית בתוך התחום, ורציפה בלבד על השפה.

מנוסחאות אלו ניתן להוכיח את משפט השאריות, שמהווה הכללה מרחיקת לכת שלהן.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח את הגרסה הבסיסית של המשפט, שממנה מסיקים את השאר:

f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz

מכיוון ש-\ f(z) הולומורפית, היא בפרט רציפה, כלומר עבור \ \varepsilon>0 כלשהו קיים \ r>0 כך ש-\ |f(z)-f(z_0)|<\varepsilon לכל \ |z-z_0|\le r, וכך שהעיגול הזה מוכל כולו בקבוצה \ U. כעת, לפי משפט אינטגרל קושי, אפשר להחליף את העקומה \ \partial D במעגל \ z: |z-z_0|=r, שהרי \ {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz={1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z) \over z-z_0}\, dz.

כעת:

\ {1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z) \over z-z_0}\, dz=
{1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0}\, dz+f(z_0)\cdot {1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz.

ראשית נחסום את האינטגרל השמאלי בסכום:

\ \left|{1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0}\, dz\right|\le
{1 \over 2\pi} \oint_{|z-z_0|=r} {\left|f(z)-f(z_0)\right| \over \left|z-z_0\right|}\, |dz|<
\frac{\varepsilon}{2\pi r}\oint_{|z-z_0|=r}|dz|=\varepsilon

כעת נחשב במדויק את האינטגרל הימני בסכום. תוך כדי כך נחשב גם את כל האינטגרלים הדומים לו, ונשיג תוצאה שימושית גם להוכחת משפט השאריות, שהוא הכללה של נוסחת אינטגרל קושי.

נרצה להשתמש בפרמטריזציה לחישוב האינטגרל \  \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz. נשים לב שזהו אינטגרל על מעגל ברדיוס \  r סביב הנקודה \ z_0 . לכן נשתמש בפרמטריזציה \  z=z_0+re^{i\theta} (המשתנה הוא הזווית \  \theta ). בפרמטריזציה זו, \  dz=ire^{i\theta}d\theta=i(z-z_0)d\theta , כלומר קיבלנו \ \frac{dz}{z-z_0}=id\theta .

נקבל את האינטגרל: \  \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz=\int_0^{2\pi}id\theta=2\pi i. מכאן נובע \  f(z_0)\cdot {1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over z-z_0}\, dz=f(z_0).

כמו כן נשים לב שעל ידי אותו החישוב נקבל לחזקות שונות מ-1 (\  n\ne 1).

\  \oint_{|z-z_0|=r} {1 \over (z-z_0)^n}\, dz=\int_0^{2\pi}\frac{id\theta}{r^{n-1}e^{i\theta(n-1)}}=ir^{1-n}\int_0^{2\pi}e^{i\theta(1-n)}d\theta=ir^{1-n}\int_0^{2\pi}(\cos\theta(1-n)+i\sin\theta(1-n))d\theta=0.

בסיכומו של דבר, הראינו כי עבור \  \varepsilon>0 כלשהו מתקיים \ \left|{1 \over 2\pi i} \oint_{\partial d} {f(z) \over z-z_0}\, dz-f(z_0)\right|=
\left|{1 \over 2\pi i} \oint_{|z-z_0|=r} {f(z)-f(z_0) \over z-z_0}\, dz\right|<\varepsilon.

מכיוון שזה נכון עבור \  \varepsilon חיובי שרירותי, בהכרח \ \left|{1 \over 2\pi i} \oint_{\partial d} {f(z) \over z-z_0}\, dz-f(z_0)\right|=0.

על כן, קיבלנו \ {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial d} {f(z) \over z-z_0}\, dz=f(z_0), כמבוקש.

מ.ש.ל.


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה