נוסחת ההיפוך של מביוס

בקומבינטוריקה, נוסחת ההיפוך של מביוס משמשת, בהינתן פונקציה $\ F$ שניתנת לתיאור בתור סכום מסוים על ערכי פונקציה אחרת $\ f$, לתאר בצורה ישירה את הפונקציה $\ f$ באמצעות סכום של $\ F$.

הגרסה הקלאסית

הגרסה ה"קלאסית" של הנוסחה היא כדלהלן: בהינתן שתי פונקציות אריתמטיות $\ \!\,f,F$, אם מתקיים $\ F(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$ לכל $\!\,n\geq 1$, אז ניתן להפוך את הנוסחה ולקבל $\ f(n)=\sum _{d\mid n}F(n/d)\mu (d)$, כאשר $\!\,\mu$ היא פונקציית מביוס.

אם מסמנים ב-$\mathbf {1}$ את הפונקציה הקבועה שמקיימת $\mathbf {1} (n)=1$ לכל n, ומשתמשים בסימון של קונבולוציית דיריכלה, נוסחת מביוס אומרת שבהינתן $F=f*\mathbf {1}$, אז $f=F*\mu$. כלומר $\mathbf {1}$ ו-$\mu$ הם איברים הופכיים ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר "לא מדויק"
• נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.