לדלג לתוכן

נוסחת ההיפוך של מביוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובפרט בקומבינטוריקה ותורת המספרים האנליטית, נוסחת ההיפוך של מביוס היא נוסחה המקשרת בין שתי פונקציות אריתמטיות כאשר אחת מהן מנוסחת כסכום ערכי הפונקציה השנייה על המחלקים של מספר טבעי.

הנוסחה הוכחה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס בשנת 1832[1].

סימונים והגדרות בסיסיות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

בערך זה נשתמש בסימון המקובל לקבוצת המספרים הטבעיים ונגדירה ללא המספר 0 (כלומר, המספרים הטבעיים יחלו מהמספר 1).

באופן דומה נסמן ב- את קבוצת המספרים המרוכבים, כמקובל.

בהינתן זוג מספרים טבעיים , נאמר כי מחלק את ונסמן אם ורק אם קיים כלשהו כך ש-.

הפונקציה האריתמטית נקראת פונקציית מביוס והיא מוגדרת כך שלכל :

הפונקציה האריתמטית נקראת פונקציית היחידה והיא מוגדרת כך שלכל :

לבסוף, לכל זוג פונקציות אריתמטיות מגדירים את קונבולוציית דיריכלה שלהן כך שלכל :

ניסוח פורמלי

[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוח קלאסי

[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי שתי פונקציות אריתמטיות . אזי, שני התנאים הבאים שקולים:[2]

  1. לכל מתקיים ש-
  2. לכל מתקיים ש-

ניסוח באמצעות קונבולוציית דיריכלה

[עריכת קוד מקור | עריכה]

מגדירים את הפונקציה האריתמטית כך שלכל מתקיים ש-.

יהי שתי פונקציות אריתמטיות . אזי, התנאים הבאים שקולים:

תחת קונבולוציית דיריכלה, פונקציית היחידה משמשת כאיבר יחידה. כלומר, לכל פונקציה אריתמטית מתקיים ש-.

בנוסף, ניתן להוכיח כי ו- הן איברים הופכיים תחת קונבולוציית דיריכלה, כלומר -[3].

מכל זה ניתן להראות כי:

מ.ש.ל.

  • לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית אוילר, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס .
  • לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית ז'ורדן מסדר , לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס .
  • לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית פון מנגולדט, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס .
  • לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית ליוביל, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס .

הכללה לפונקציות כלליות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן זוג פונקציות המתאפסות בקטע הפתוח ופונקציה אריתמטית כפלית לחלוטין , שני התנאים הבאים שקולים:[4]

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  1. ^ August Ferdinand Möbius, Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1832, עמ' 105-123
  2. ^ Eric W. Weisstein, Möbius Inversion Formula, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
  3. ^ Eric W. Weisstein, Möbius Function, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
  4. ^ Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, 1976 doi: 10.1007/978-1-4757-5579-4