נוסחת השרוך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, נוסחת השרוך (נקרא גם אלגוריתם השרוך או נוסחת גאוס), היא נוסחה לחישוב שטח של מצולע במישור הקרטזי על בסיס קודקודיו. שמה של הנוסחה נובע מדרך החישוב שלה על ידי מטריצות (יפורט בהמשך). המשפט נובע ממשפט גרין, אך ניתן לחשב אותו על ידי חלוקת המצולע למשולשים וחישוב הצלע של כל אחד מהם. הנוסחה היא לחישוב שטח של מצולע כלשהו, לא משנה אם הוא מצולע קמור או לא.

הנוסחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שטחו של מצולע A בעל n קודקודים, שכל אחד מהם הוא מהצורה xiyi), i = 1, 2,..., n), היא:

או בצורת כיתוב שונה:

כאשר xn+1 = x1, x0 = xn, yn+1 = y1 ו-y0 = yn.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמה של הדוגמה הספציפית

על פי הנוסחה ניתן לחשב את הנוסחה עבור משולש כאשר n הוא 3:

עבור מרובע כאשר n הוא 4:

ועבור מחומש כאשר n הוא 5:

דוגמה ספציפית[עריכת קוד מקור | עריכה]

שטח הצורה שקדקודיה הם (3,4), (5,11), (12,8), (9,5) ו-(5,6) היא:

מקור השם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקור השם הוא בחישוב השטח על ידי מטריצה. לדוגמה, ניקח את הצורה שקדקודיה הם {(2,4),(1,2),(3,−8)}, אז ניתן לרשום את המצולע בתור המטריצה הבאה:

עכשיו נצייר קווים אלכסוניים ימניים:

  ShoelaceMatrix2.GIF

ואז נצייר קווים אלכסוניים שמאליים:

  ShoelaceMatrix3.GIF

אם נכפל את כל הקווים שהאלכסונים נפגשים, נחבר את כל אלה עם הקווים הימניים: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6 ונחסר מזה את הסכום של אלה עם הקווים השמאליים: (4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8 ונוציא ערך מוחלט: −6 )−( 8)| = 14)|, נקבל את השטח, שהוא מחצית הערך המוחלט, כפי שניתן לקבל בנוסחה, שהוא 7.