ניתוח הישרדות

ניתוח הישרדות (באנגלית: Survival analysis) הוא ענף בסטטיסטיקה, העוסק באופן מסורתי בניתוח במשך הזמן הצפוי לעבור עד שיתרחש אירוע מסוים, בטרמינולוגיה סטטיסטית - זמן-למאורע (Time-to-event). אירוע יכול להיות, לדוגמה, מוות של חולה או קלקול במערכת מכנית כגון מכונה כלשהי. הטיפול הייחודי באמדן של זמן-למאורע נובע מהקושי לאסוף מדגמים בהם מועד התרחשות האירוע ידוע עבור כל התצפיות. עבור התצפיות שלא נאסף עבורם מועד ההתרחשות, מודלי הישרדות מתחשבים בזמן שידוע שעד אליו האירוע לא התרחש. בעזרת ניתוח הישרדות ניתן לענות על שאלות כגון: איזה אחוז מאוכלוסיית החולים יישארו בחיים לאחר פרק זמן מסוים? איזה גורמים משפיעים על הסיכון למות? האם טיפול תרופתי מסוים מאריך את תוחלת החיים? כמה אנשים מתים מנזקי העישון?

באופן מסורתי, ניתוח הישרדות עוסק במידול מאורע בודד. עם זאת, עם פיתוח הענף פותחו מבחנים סטטיסטים העוסקים במידול מצבים בהם האירוע הוא חוזרני (Recurring event), כלומר יכול להתרחש יותר מפעם אחת. מצבו הקליני של החולה יכול להחמיר מספר פעמים במשך חייו, ומכונה יכולה להתקלקל, לחזור לפעילות לאחר תיקון ואז להתקלקל שוב.

אם לכל תצפית ידוע הזמן-למאורע, ניתן להשתמש בכלים סטנדרטיים לניתוח מערכים עם משתנה תלוי רציף, תוך התייחסות לכך שהמשתנה התלוי תחום בחלקו החיובי של הציר הממשי $\mathbb {R} ^{+}$.

מושגי יסוד בניתוח הישרדות

• אירוע או מאורע (Event): התרחשות מוגדרת היטב של התופעה בה אנו מתעניינים.
• תקופת המעקב (Follow-up period): התקופה בה נערך מעקב אחרי הפרט או אוכלוסייה של פרטים כדי לבדוק האם מתרחש אירוע. לדוגמה, בניסוי קליני להערכת יעילות טיפול מסוים לטרשת נפוצה, מתעניינים במשך הזמן העובר מתחילת הטיפול עד להתרחשות התקף. בדרך כלל מגבילים את משך הניסוי הקליני בזמן, למשל מחליטים לעקוב אחרי החולים במשך שנתיים בלבד לאחר תחילת הטיפול, כלומר תקופת המעקב היא שנתיים.
• זמן שרידות אמיתי (True survival time), לעיתים נקרא גם זמן לכישלון (Failure time) או זמן המאורע (Event time): משך הזמן העובר מנקודת ייחוס בזמן ועד להתרחשות המאורע עבור תצפית מסוימת. לרוב יסומן זמן זה באמצעות $T_{i}$.
• צינזור (Censoring): אם תקופת המעקב הסתיימה עבור פרט מסוים לפני התרחשות האירוע, נאמר כי התצפית היא מצונזרת (Censored observation). במקרה של תצפית מצונזרת, אנו יודעים בוודאות כי האירוע לא התרחש בזמן תקופת התצפית, אך לא יודעים אם הוא יתרחש בעתיד ואם כן מתי. הזמן הנמדד עבור תצפית זו הוא הזמן מתחילת המעקב עד זמן הצנזור. לרוב זמן זה עבור התצפית ה-$i$ מיוצג על ידי $C_{i}$, והוא נקרא "זמן צנזור אמיתי" (True censoring Time). אם התצפית היא מצונזרת נהוג להוסיף סימן + בצידו הימני של הזמן-למאורע על מנת לסמן זאת. לדוגמה:$7^{+}$ מייצג תצפית מצונזרת, שעבורה ידוע שהזמן-למאורע גדול מ-7.
• תצפיות שבסיכון (At risk observations): כלומר כל התצפיות עד זמן $y$ שטרם עברו צינזור, או ש-$y$ קטן מהזמן-לאירוע שלהן. בכתיב מתמטי כל התצפיות $i'$, שעבורן $i':y_{i}\geq y$. מושג הצנזור קרוב למושג קיטום (truncation), המתאם מדגם שבאופן סיסטמטי לא מכיל תצפיות מסוימות. לדוגמה מדגם שנאסף מבתי חולים ציבוריים לא מכיל כלל מידע על תצפיות מבתי חולים פרטיים, ולכן בהתייחס אל תצפיות מבתי חולים פרטיים הוא קטום.
• באיסוף התצפיות החוקר מבחין בזמן השרידות האמיתי $T_{i}$ או בזמן הצנזור$C_{i}$, המוקדם מבניהם. דוגמה: חולה המשתתף בניסוי קליני שמשכו שנתיים יכול להחליט לפרוש מהניסוי בכל עת. אם פרש מהניסוי אחרי חצי שנה, למשל, וזאת בטרם התרחשות האירוע, אז הזמן של אותו חולה הוא חצי שנה. מתמטית נהוג להגדיר את הזמן הנמדד בפועל כמשתנה מקרי עבור התצפית ה-$i$ כ: $Y_{i}=\min(C_{i},T_{i})$. נהוג גם להגדיר פונקציית סטטוס $\delta _{i}\in \{0,1\}$, מחזירה $\delta _{i}=1$ אם תצפית מסוימת $i$ עברה אירוע בזמן תקופת המעקב, כלומר אם $T_{i}\leq C_{i}$. כמו כן, הפונקציה מחזירה $\delta _{i}=0$, אם תצפית מסוימת $i$ היא מצונזרת כלומר $T_{i}>C_{i}$. במדגם אופייני לניתוח הישרדות החוקר מחזיק ב-$n$ צמדים של $(Y,\delta )$, המציינים את האוסף $(y_{1},\delta _{1}),...,(y_{n},\delta _{n})$.
• פונקציית ההישרדות $S(t)$: פונקציה שמחזירה עבור כל זמן $t$ את ההסתברות שזמן השרידות האמיתי $T$ גדול מ-$t$. פורמלית, $S(t)=P(T>t)$, פונקציית ההישרדות היא פונקציה מונוטונית יורדת של $t$, המחזירה ערכים שתחומים בין 1 ל-0.
• פונקציית הסיכון (hazard function), המסומנת בדרך כלל ב-$h(t)$, מבטאת את הסיכון הנקודתי להתרחשות אירוע בזמן $t$, והיא מתקבלת כאשר מחשבים את ההסתברות המותנית להתרחשות אירוע במרווח זמן מסוים $\Delta t$ כאשר נתון כי האירוע לא התרחש לפני כן, מחלקים בגודל מרווח הזמן, ומשאיפים גודל זה ל-0: $$\lambda (t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P(t<T\leq t+\Delta t|T>t)}{\Delta t}}={\frac {f(t)}{S(t)}}$$,

כאשר $f(t)$ היא פונקציית הצפיפות של $T$.

יש לשים לב כי הסיכון אינו הסתברות, וערכו יכול להיות גדול מ-1.

גישות נפוצות לתיאור ניתוח השרדות

לוח חיים

לוח חיים (או לוח תמותה, תלוי בהקשר) הוא טבלה תיאורית של נתוני ההישרדות. לכל נקודת זמן או מרווח זמן נתונים:

• מספר הפרטים באוכלוסייה שנמצאו בסיכון באותה נקודת זמן. גודל זה הוא מספר הפרטים שלא נצפה כי הם חוו אירוע עד נקודת זמן זו, בין אם הם חוו אירוע בנקודת זמן מאוחרת יותר ובין אם התצפית נקטמה.
• מספר הפרטים שחוו את האירוע בנקודת זמן זו.

משני נתונים אלה אפשר לחשב אמדן לערך פונקציית ההישרדות באותה נקודת זמן. על ידי שימוש בהתפלגות הבינומית ניתן לחשב רווח סמך לאמדן זה.

עקומת קפלן-מאייר

עקומת קפלן-מאייר היא קירוב אפרמטרי לפונקציית ההישרדות, המתחשב בדגימות עם צנזור באמצעות הכללתם במכנה הביטוי לכל זמן $t<C$, כאשר $C$ הוא פרק הזמן עד לצנזור. האמדן נתון על ידי הנוסחה: $${\widehat {S}}(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}\left(1-{\frac {d_{i}}{n_{i}}}\right)$$ כאשר

• $t_{i}$ היא נקודת זמן בה התרחש לפחות אירוע אחד.
• $d_{i}$ הוא מספר האירועים שהתרחשו בנקודת הזמן $t_{i}$.
• $n_{i}$ הוא מספר הפרטים באוכלוסייה ששרדו (כלומר לא חוו אירוע) עד זמן $t_{i}$.

קפלן ומאייר הוכיחו כי אמד זה הוא אמד נראות מקסימלית עבור פונקציית ההישרדות.

שיטות להסקה בניתוח הישרדות

מבחן לוג הדרגות (log rank test)

זהו מבחן סטטיסטי א-פרמטרי לבדיקת ההשערה כי אין הבדל בין פונקציות ההשרדות של שתי אוכלוסיות בלתי תלויות. מבחן זה נקרא לעיתים בשם מבחן מאנטל-קוקס. התפלגותו האסימפטוטית של סטטיסטי המבחן היא התפלגות חי בריבוע כאשר מספר דרגות החופש שווה למספר האוכלוסיות פחות 1.

רגרסיית הישרדות פרמטרית

זהו מודל רגרסיה פרמטרי המקשר בין משך הזמן (או פונקציה שלו) ובין משתנים מסבירים. פורמלית: $$g(T)=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+...+\beta _{k}X_{k}+\sigma \epsilon$$ כאשר

• $g(T)$ היא פונקציה מונוטונית של $T$
• $X_{1},...,X_{k}$ הם משתנים מסבירים.
• $\beta _{1},...,\beta _{k}$ הם מקדמי הרגרסיה.
• ל-$\epsilon$ יש התפלגות המקבלת ערכים אי שליליים.
• $\sigma$ הוא מקדם מישקול (scaling) התלוי בהתפלגות של $\epsilon$.

אמידת הפרמטרים נעשית על ידי שיטת הנראות המקסימלית.

מודל הסיכונים הפרופורציונליים (מודל קוקס)

מודל הסיכונים הפרופורציונליים הוא מודל רגרסיה סמי-פרמטרי המקשר בין פונקציית הסיכון ובין משתנים מסבירים. בעוד שעקומת קפלן מאייר ומבחן לוג הדרגות מתאימים למצב בו יש משתנה קטגורי יחיד המשפיע על פונקציית הסיכון (כגון קבוצת טיפול וקבוצת ביקורת, או מעשנים ולא מעשנים), מודל קוקס מתאים גם למצבים בהם יש יותר ממשתנה אחד המשפיע על ערך פונקציית הסיכון, ומשתנים אלה אינם מוגבלים להיות משתנים קטגוריים, אלא יכולים להיות משתנים בכל סולם מדידה.

המודל הוצג על ידי סיר דויד קוקס בשנת 1972, והמאמר בו הוא הוצג נמנה עם 100 המאמרים המצוטטים ביותר בספרות המדעית.

ההגדרה הפורמלית של המודל היא $$h(t|X_{1},...,X_{k})=h_{0}(t)\cdot \exp(\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+...+\beta _{k}X_{k})$$ כאשר

• $X_{1},...,X_{k}$ הם משתנים מסבירים.
• $h(t|X_{1},...,X_{k})$ הוא הסיכון בנקודת הזמן $t$ בהינתן $X_{1},...,X_{k}$.
• $h_{0}(t)$ הוא הסיכון הבסיסי (הבלתי מותנה) בנקודת הזמן $t$.
• $\beta _{1},...,\beta _{k}$ הם מקדמי הרגרסיה.

המודל אינו מניח הנחה התפלגותית לגבי הזמן $T$, אך מניח כי יחס הסיכונים הוא קבוע, ולא תלוי בזמן. הנחה זו מופרת כאשר משווים שתי קבוצות של נבדקים, כאשר עד זמן $t$ פונקציית הסיכון של קבוצה אחת גבוהה יותר מפונקציית הסיכון של קבוצה שנייה, אך לאחר זמן $t$ היא נמוכה יותר ביחס לקבוצה השנייה.

בגרסתו הפשוטה המודל גם מניח כי המשתנים המסבירים אינם תלויים בזמן. עם זאת, ניתן בקלות להרחיב את המודל כך שיטפל גם במשתנים מסבירים מסוג זה.

כמו כן, המודל אינו אומד ישירות את פונקציית הסיכון אלא את לוג יחסי הסיכונים (hazard ratio):$\log {\biggr (}{\frac {h(t|X_{1},...,X_{k})}{h_{0}(t)}}{\biggr )}$. כלומר, במודל קוקס ${\hat {\beta }}_{i}$ הוא אמדן ללוג יחס הסיכונים (HR) של המשתנה המסביר $X_{i}$ בהינתן שאר המשתנים המסבירים אל מול הסיכון בביסליין $h_{0}$. לפיכך, שימוש במודל אינו מתאים אם לחוקר יש עניין רב בהבנת פונקציית הסיכון בבייסליין, $h_{0}$. למשל במקרים בהם החוקר מעוניין לחזות את הסיכון לתמותה לאחר זמן $t$ עבור נבדק מסוים.

אמידת הפרמטרים $\beta _{1},...,\beta _{k}$ נעשית בשיטת הנראות המקסימלית החלקית (Partial Maximum Likelihood), אשר אינה דורשת אמידה של $h_{0}(t)$.

נראות מקסימלית חלקית במודל קוקס

נניח שהתצפית ה-$i$ לא מצונזרת. כלומר עבורה פונקציית הסטטוס $\delta _{i}=1$. לפיכך $y_{i}=\min(C_{i},T_{i})=T_{i}$, כלומר הזמן שנמדד במדגם עבור תצפית זו הוא זמן השרידות האמיתי.

במקרה זה פונקציית הסיכון לתצפית ה-$i$ היא: $h(y_{i}|x_{i})=h_{0}(y_{i})\exp {\Bigl (}\textstyle \sum _{j=1}^{p}x_{ij}\beta _{j}\displaystyle {\Bigr )}$, והסיכון הכולל בזמן $y_{i}$ לכל התצפיות שבסיכון (at risk): $\sum _{i':y_{i'}\geq y_{i}}h_{0}(y_{i})\exp {\Bigl (}\textstyle \sum _{j=1}^{p}x_{i'j}\beta _{j}\displaystyle {\Bigr )}$. לכן, ההסתברות שהתצפית ה-$i$ היא זו שתיפול בזמן $y_{i}$, היא היחס:

${\frac {h_{0}(y_{i})\exp {\Bigl (}\textstyle \sum _{j=1}^{p}x_{ij}\beta _{j}\displaystyle {\Bigr )}}{\sum _{i':y_{i'}\geq y_{i}}h_{0}(y_{i})\exp {\Bigl (}\textstyle \sum _{j=1}^{p}x_{i'j}\beta _{j}\displaystyle {\Bigr )}}}$. ניתן לראות שהביטוי $h_{0}(y_{i})$ ניתן לצמצום מהמונה והמכנה.

הנראות המקסימלית החלקית מוגדרת כמכפלה מעבר לכל התצפיות הלא מצונזרות של ביטוי זה:

$PL(\beta )=\prod _{i:\delta _{i}=1}{\frac {\exp {\Bigl (}\textstyle \sum _{j=1}^{p}x_{ij}\beta _{j}\displaystyle {\Bigr )}}{\sum _{i':y_{i'}\geq y_{i}}\exp {\Bigl (}\textstyle \sum _{j=1}^{p}x_{i'j}\beta _{j}\displaystyle {\Bigr )}}}$

והבטאות של מודל קוקס הן אלו אשר ממקסמות אותו.

גישות נוספות

גישות אפשריות נוספות לניתוח נתוני השרדות כוללות את מודל הסיכונים המצטברים, מודלים בייסיאניים ומודלים של למידת מכונה. כמו כן ישנן הרחבות למודלים שהוזכרו כאן למקרים בהם מופרות חלק מההנחות.

ישנם מצבים בהם אירוע יכול להתרחש בצורות שונות (למשל אדם מעשן נמצא בסיכון גבוה גם לסרטן וגם למחלת לב. הוא עלול למות כתוצאה מסרטן או ממחלת לב, אך סיבת המוות לא יכולה להיות שתי המחלות יחד). המודל המתאים לניתוח הנתונים במצבים כאלה הוא מודל הסיכונים המתחרים.

דוגמה

בדוגמה זו נשתמש בקובץ הנתונים lung המצורף לחבילתsurvival של תוכנת R. הניתוחים המוצגים בוצעו על ידי פונקציות מחבילה זו.

יש להדגיש כי הדוגמה ממחישה את האופן בו מתבצעים הניתוחים השונים ומסבירה כיצד לפרט את התוצאות, אך אין זו דוגמה לתהליך ניתוח מסודר של נתוני הישרדות.

הנתונים

בקובץ lung יש נתונים אודות 228 חולי סרטן הריאה. הנתונים כוללים את מין וגיל הנבדקים, וכן נתונים נוספים אודות מצבם התפקודי והתזונתי של החולים. כן נתון משך הזמן בימים שעבר ממועד איסוף הנתונים (תחילת התצפית) ועד התרחשות אירוע מוות או סיום התצפית, ומשתנה המציין האם התצפית היא מלאה או קטומה. לצורך הדוגמה נשתמש בנתוני המין והגיל בלבד. להלן חלק מהנתונים:

   time status age sex
1   306      2  74   1
2   455      2  68   1
3  1010      1  56   1
4   210      2  57   1
5   883      2  60   1
6  1022      1  74   1
7   310      2  68   2
8   361      2  71   2
9   218      2  53   1
10  166      2  61   1

Sex=1 מציין גבר ו-sex=2 מציין אשה. Status=1 מציין תצפית קטומה ו-status=2 מציין התרחשות אירוע מוות.

מתוך 228 חולים, 165 נפטרו במהלך תקופת התצפית.

חציון זמן ההישרדות

מכיוון שאנו איננו יודעים את משך הזמן עד המוות של החולים שלא נפטרו אי אפשר לאמוד את הזמן הממוצע עד המוות, אבל אפשר לאמוד את משך הזמן החציוני בעזרת אמדן קפלן-מאייר לפונקציית ההישרדות. בעזרת הפונקציה suvrfit של R עולה כי משך הזמן החציוני עד למוות באוכלוסייה שווה ל-310 ימים. חישוב נפרד לגברים ונשים מעלה כי משך הזמן החציוני עד למוות עבור גברים הוא 270 יום, ועבור נשים הוא 426 ימים.

 > # median estimation
 > fit=survfit(Surv(lung$time, lung$status) ~ 0, conf.type="plain")
 > fit_sex=survfit(Surv(time, status) ~ sex, data = lung)
 > fit
 Call: survfit(formula = Surv(lung$time, lung$status) ~ 0, conf.type = "plain")

       n  events  median 0.95LCL 0.95UCL
     228     165     310     284     361
 > fit_sex
 Call: survfit(formula = Surv(time, status) ~ sex, data = lung)

         n events median 0.95LCL 0.95UCL
 sex=1 138    112    270     212     310
 sex=2  90     53    426     348     550
 >

לוח חיים (או לוח תמותה)

מוצגות פקודות R ו-6 השורות הראשונות של לוח התמותה (נתוני התמותה חושבו לכל החולים יחד):

> # life table lung
> fit= survfit(Surv(lung$time, lung$status) ~ 0, conf.type="plain")
> lt_lung=data.frame(summary(fit)[c(2:4,6, 8,10,9)])
> names(lt_lung)=c("time", "n_at_risk", "n_events",
+                  "survival", "StdErr", "ci_lower", "ci_upper")
> lt_lung[, 4:7]=round(lt_lung[, 4:7],4)
> head(lt_lung)
  time n_at_risk n_events survival StdErr ci_lower ci_upper
1    5       228        1   0.9956 0.0044   0.9870   1.0000
2   11       227        3   0.9825 0.0087   0.9654   0.9995
3   12       224        1   0.9781 0.0097   0.9591   0.9971
4   13       223        2   0.9693 0.0114   0.9469   0.9917
5   15       221        1   0.9649 0.0122   0.9410   0.9888
6   26       220        1   0.9605 0.0129   0.9353   0.9858
>

מהשורה הראשונה של הלוח ניתן ללמוד כי: • ביום החמישי של תקופת המעקב היו 228 חולים בסיכון • חולה אחד מת ביום החמישי • ערך פונקציית ההשרדות עבור t=5 שווה ל-0.996. הערך חושב על ידי חלוקת 227 (מספר השורדים מעבר ליום ה-5) ב-228 (מספר החולים הכולל)

עקומת קפלן-מאייר

ניתן להפיק את העקומה ב-R בעזרת הפקודות הבאות:

> plot(fit_sex, col=c("red", "blue"), axes=FALSE, lwd=2,
+      main="Lung Cancer Data",
+      xlab="Time (days)", ylab="S(t)")
> mtext("Kaplan-Meyer Curve")
> axis(1, at=200*(0:5))
> axis(2, at=0.2*(0:5))
> legend("topright",
+        col=c('red', 'blue'),
+        legend=c("Male", "Female"), lwd=2, box.col="white")
>

העקומה המתקבלת היא:

ניתן לראות כי ערך פונקציית ההשרדות של הנשים גבוה מזה של הגברים ברוב הזמן. לדוגמה, ההסתברות כי אשה תשרוד יותר מ-400 ימים קרובה ל-0.6, בעוד עבור הגברים הסתברות זו היא בערך 0.3.

מבחן לוג הדרגות (log rank test)

ביצוע המבחן ב-R:

> # log rank test
> survdiff(Surv(time, status) ~ sex, data = lung)
Call:
survdiff(formula = Surv(time, status) ~ sex, data = lung)

        N Observed Expected (O-E)^2/E (O-E)^2/V
sex=1 138      112     91.6      4.55      10.3
sex=2  90       53     73.4      5.68      10.3

 Chisq= 10.3  on 1 degrees of freedom, p= 0.00131

ערך $\chi ^{2}$ שהתקבל הוא 10.3 וערך ה-p הוא 0.00131. בהנחה כי רמת המובהקות שנקבעה מראש היא $\alpha =0.05$, ניתן לומר כי יש הבדל מובהק בין פונקציות ההישרדות של הגברים ושל הנשים.

רגרסיית השרדות פרמטרית

נבצע רגרסיית הסתברות פרמטרית כאשר המשתנה המוסבר הוא הלוג של משך הזמן והמשתנים המסבירים הם מין וגיל. אנו מניחים כי לטעות $\epsilon$ יש התפלגות וויבול עם פרמטר scale השווה ל-1.

> fit_reg=survreg(Surv(log(time), status) ~ sex + age, data = lung, dist='weibull',scale=1)
> summary(fit_reg)
Call:
survreg(formula = Surv(log(time), status) ~ sex + age, data = lung,
    dist = "weibull", scale = 1)
              Value Std. Error     z        p
(Intercept)  2.2771    0.62944  3.62 0.000297
sex          0.3546    0.16759  2.12 0.034380
age         -0.0119    0.00888 -1.34 0.180112

Scale fixed at 1

Weibull distribution
Loglik(model)= -493.7   Loglik(intercept only)= -497.3
	Chisq= 7.15 on 2 degrees of freedom, p= 0.028
Number of Newton-Raphson Iterations: 3
n= 228

טיב ההתאמה של המודל לנתונים נבדק על ידי סטטיסטי $\chi ^{2}$ של מבחן יחס הנראות (על פי משפט וילקס). ערכו הוא 7.15 עם שתי דרגות חופש, וערך ה-p הוא 0.028. בהנחה כי רמת המובהקות שנקבעה מראש היא $\alpha =0.05$, ניתן לומר כי יש הבדל מובהק בין המודל הכולל את המשתנים המסבירים והמודל הבסיסי שאינו כולל משתנים מסבירים. עם זאת, אנו רואים כי המקדם של משתנה המין שונה מ-0 באופן מובהק סטטיסטית, אך המקדם של משתנה הגיל אינו שונה מאפס באופן מובהק.

מודל הסיכונים הפרופורציונליים (מודל קוקס)

נבצע הרצה של המודל עם משתנה מסביר אחד - משתנה המין:

> # cox ph model
> fit_cox=coxph(Surv(time, status) ~ sex, lung)
> summary(fit_cox)
Call:
coxph(formula = Surv(time, status) ~ sex, data = lung)

  n= 228, number of events= 165

       coef exp(coef) se(coef)      z Pr(>|z|)
sex -0.5310    0.5880   0.1672 -3.176  0.00149 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

    exp(coef) exp(-coef) lower .95 upper .95
sex     0.588      1.701    0.4237     0.816

Concordance= 0.579  (se = 0.022 )
Rsquare= 0.046   (max possible= 0.999 )
Likelihood ratio test= 10.63  on 1 df,   p=0.001111
Wald test            = 10.09  on 1 df,   p=0.001491
Score (logrank) test = 10.33  on 1 df,   p=0.001312

בתחתית הפלט יש מספר מבחנים לבדיקת טיב ההתאמה של המודל לנתונים בהשוואה למודל ללא משתנים מסבירים: מבחן התאימות (Concordance), מבחן יחס הנראות, מבחן ואלד ומבחן לוג הדרגות. בכל המבחנים התקבלו תוצאות מובהקות (ברמת מובהקות של $\alpha =0.05$). כן נתון ערך המתאם $R^{2}$ והוא שווה ל-0.046. ערך זה נמוך למדי, ורומז על כך שייתכן כי ישנם עוד משתנים מסבירים היכולים להסביר את השונות בין זמני ההישרדות. ערכו של מקדם משנה המין הוא 0.531-, וערך זה מובהק סטטיסטית ברמת מובהקות של $\alpha =0.05$. מאחר שגברים מקודדים בקובץ הנתונים על ידי המספר 1 ונשים על ידי המספר 2, נובע כי כשאר ערך המין משתנה מ-1 ל-2, כלומר כאשר הסיכון מחושב עבור אישה ולא עבור גבר, הסיכון הכללי קטן. כאשר מפעילים את הפונקציה המעריכית על מקדם זה, אנו מקבלים כי יחס הסיכונים הוא 0.588. פירוש הדבר הוא כי הסיכון למוות של נשים נמוך בג-40% מזה של הגברים בכל נקודת זמן. רווח סמך ברמת סמך של 95% ליחס הסיכונים הוא (0.4237-0.0816) ואינו מכיל בתוכו את 1, וזה מתיישב עם הערך המובהק של מקדם הגיל ברגרסיה.

ניתן להפיק גרף של פונקציות ההישרדות שנאמדו על ידי המודל בעזרת הפקודות הבאות ב-R:

> plot(survfit(fit_cox, newdata=data.frame(sex=c(1,2))),
+      col=c("red", "blue"), axes=FALSE, lwd=2,
+      main="Lung Cancer Data - Cox Model",
+      xlab = "Days", ylab="Survival")
> mtext("Survival Curves by Sex")
> axis(1, at=200*(0:5))
> axis(2, at=0.2*(0:5))
> legend("topright",
+        col=c('red', 'blue'),
+        legend=c("Male", "Female"), lwd=2, box.col="white")
>

העקומה המתקבלת היא:

שוב ניתן לראות כי ערכי פונקציית ההשרדות של הנשים גבוהים מאלה של הגברים. החל מנקודה מסוימת שתי העקומות מקבילות זו לזו, וזאת כתוצאה של הנחת הסיכונים הפרופורציונליים.

לקריאה נוספת

• Collett, David (2003). Modelling Survival Data in Medical Research (Second ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1584883251.
• Elandt-Johnson, Regina; Johnson, Norman (1999). Survival Models and Data Analysis. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0471349925.
• Kalbfleisch, J. D.; Prentice, Ross L. (2002). The statistical analysis of failure time data. New York: John Wiley & Sons. ISBN 047136357X.
• Lawless, Jerald F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data (2nd ed.). Hoboken: John Wiley and Sons. ISBN 0471372153.
• Rausand, M.; Hoyland, A. (2004). System Reliability Theory: Models, Statistical Methods, and Applications. Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 047147133X.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ניתוח הישרדות בוויקישיתוף

• "Engineering Statistics Handbook". NIST/SEMATEK.
• SOCR, Survival analysis applet and interactive learning activity.
• Survival/Failure Time Analysis @ Statistics' Textbook Page
• Survival Analysis in R
• Lifelines, a Python package for survival analysis
• Survival Analysis in NAG Fortran Library

• יוסי לוי, השרדות: איך אפשר לדעת מה יהיה?, באתר "נסיכת המדעים"
• יוסי לוי, איך יודעים כמה אנשים מתים מנזקי העישון, באתר "נסיכת המדעים"